Question

【題目】如圖，直線y＝﹣x+4分別交x軸、y軸于A、C兩點(diǎn)，拋物線y＝﹣x2+mx+4經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，且與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)B．連接BC，過(guò)點(diǎn)C作CD∥x軸交拋物線于點(diǎn)D

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）若點(diǎn)E是拋物線上的點(diǎn)，求滿足∠ECD＝∠BCO的點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)M在y軸上且位于點(diǎn)C上方，點(diǎn)N在直線AC上，點(diǎn)P為第一象限內(nèi)的拋物線上一點(diǎn)，若以點(diǎn)C、M、N、P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，求菱形的邊長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）E的坐標(biāo)為E或；（3）4﹣2或．

【解析】

（1）利用直線方程求得點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)A、C坐標(biāo)求得拋物線解析式；

（2）分點(diǎn)E在CD上方、點(diǎn)E在CD下方兩種情況，分別求解即可；

（3）分CM為菱形的一條邊、CM為菱形的對(duì)角線兩種情況，分別求解即可．

解：（1）y＝﹣x+4，令x＝0，則y＝4，令y＝0，則x＝4，

則點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（4，0）、（0，4），

將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線的表達(dá)式并解得：m＝3，

故拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2+3x+4①，

令y＝0，則x＝﹣1或4，故點(diǎn)B（﹣1，0）；

（2）①當(dāng)點(diǎn)E在CD上方時(shí)，

tan∠BCO＝，

則直線CE的表達(dá)式為：y＝x+4②，

聯(lián)立①②并解得：x＝0或（舍去0），

則點(diǎn)E（，）；

②當(dāng)點(diǎn)E在CD下方時(shí)，

同理可得：點(diǎn)E′（，）；

故點(diǎn)E的坐標(biāo)為E（，）或（，）；

（3）①如圖2，當(dāng)CM為菱形的一條邊時(shí)，

過(guò)點(diǎn)P作PQ∥x軸，∵OA＝OC＝4，

∴∠PMQ＝∠CAO＝45°，

設(shè)點(diǎn)P（x，﹣x2+3x+4），

則PM＝PQ＝x，

C、M、N、P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，則PM＝PN，

即：x＝﹣x2+3x+4，解得：x＝0或4﹣（舍去0），

故菱形邊長(zhǎng)為x＝4﹣2；

②如圖3，當(dāng)CM為菱形的對(duì)角線時(shí)，

同理可得：菱形邊長(zhǎng)為2；

故：菱形邊長(zhǎng)為4﹣2或．