Question

【題目】（1）問(wèn)題

如圖1，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P為AB上一點(diǎn)，∠DPC=∠A=∠B=90°，求證：ADBC=APBP．

（2）探究

如圖2，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P為AB上一點(diǎn)，當(dāng)∠DPC=∠A=∠B=θ時(shí)，上述結(jié)論是否依然成立？說(shuō)明理由．

（3）應(yīng)用

請(qǐng)利用（1）（2）獲得的經(jīng)驗(yàn)解決問(wèn)題：如圖3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5，點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度，由點(diǎn)A出了，沿邊AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，且滿足∠DPC=∠A，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒），當(dāng)以D為圓心，以DC為半徑的圓與AB相切時(shí)，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見試題解析；（2）成立，理由見試題解析；（3）1或5．

【解析】

試題分析：（1）如圖1，由∠DPC=∠A=∠B=90°可得∠ADP=∠BPC，即可證到△ADP∽△BPC，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題；

（2）如圖2，由∠DPC=∠A=∠B=θ可得∠ADP=∠BPC，即可證到△ADP∽△BPC，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題；

（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得AE=BE=3，根據(jù)勾股定理可得DE=4，由題可得DC=DE=4，則有BC=5﹣4=1．易證∠DPC=∠A=∠B．根據(jù)ADBC=APBP，就可求出t的值．

試題解析：（1）如圖1，∵∠DPC=∠A=∠B=90°，∴∠ADP+∠APD=90°，∠BPC+∠APD=90°，∴∠ADP=∠BPC，∴△ADP∽△BPC，∴，∴ADBC=APBP；

（2）結(jié)論ADBC=APBP仍然成立．理由：如圖2，

∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，∠BPD=∠A+∠ADP，∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠ADP，∵∠DPC=∠A=∠B=θ，∴∠BPC=∠ADP，∴△ADP∽△BPC，∴，∴ADBC=APBP；

（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E．∵AD=BD=5，AB=6，∴AE=BE=3，由勾股定理可得DE=4，∵以點(diǎn)D為圓心，DC為半徑的圓與AB相切，∴DC=DE=4，∴BC=5﹣4=1，又∵AD=BD，∴∠A=∠B，∴∠DPC=∠A=∠B，由（1）、（2）的經(jīng)驗(yàn)可知ADBC=APBP，∴5×1=t（6﹣t），解得：，，∴t的值為1秒或5秒．