18.如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,對(duì)角線交于點(diǎn)O,作∠DBF=30°,CE∥BD,DE∥BF,CE與BF交于點(diǎn)F,連接DF,∠DFC=105°.
(1)求證:四邊形BDEF是菱形;
(2)試說明△BDF的面積等于△ABD的面積;
(3)求CF的長(zhǎng).

分析 (1)首先證明四邊形BDEF是平行四邊形,再證明BD=BF即可解決問題.
(2)由BD∥CF,推出S△BDF=S△BDC,由四邊形ABCD是正方形,推出S△ABD=S△BDC,即可證明S△BDF=S△ABD
(3)作FM⊥BC于M,由BD∥CF,推出∠BDC=∠DCF=∠FCM=45°,推出△CFM是等腰直角三角形,設(shè)CM=FM=x,在Rt△BFM中,由BF=BD=$\sqrt{2}$,BM=1+x,F(xiàn)M=x,可得($\sqrt{2}$)2=x2+(x+1)2,解方程即可解決問題.

解答 (1)證明:∵BD∥EC,DE∥BF,
∴四邊形BDEF是平行四邊形,
∵∠BDF+∠DFC=180°,∠DFC=105°,
∴∠BDF=75°,∵∠DBF=30°,
∴∠BFD=180°-30°-75°=75°,
∴∠BDF=∠BFD=75°,
∴BD=BF,
∴四邊形BDEF是菱形.

(2)證明:∵BD∥CF,
∴S△BDF=S△BDC,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴S△ABD=S△BDC
∴S△BDF=S△ABD

(3)解:作FM⊥BC于M,
∵BD∥CF,
∴∠BDC=∠DCF=∠FCM=45°,
∴△CFM是等腰直角三角形,設(shè)CM=FM=x,
在Rt△BFM中,∵BF=BD=$\sqrt{2}$,BM=1+x,F(xiàn)M=x,
∴($\sqrt{2}$)2=x2+(x+1)2,
∴x=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$或$\frac{-\sqrt{3}-1}{2}$(舍棄),
∴CF=$\sqrt{2}$CM=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查正方形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí),解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí),學(xué)會(huì)用方程是思想思考問題,屬于中考常考題型.

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