Question

13．如圖，在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，AB的垂直平分線交AC于點D，交AB于點E，BD平分∠ABC．
（1）求∠A，∠ABC的度數(shù)；
（2）連結CE，求證：△BCE是等邊三角形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得AD=BD，根據(jù)等邊對等角可得∠DBA=∠A，然后利用直角三角形兩銳角互余列式求出∠CBD=∠DBA=∠A=30°；
（2）根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半可得BE=CE，根據(jù)等邊三角形的判定方法即可得出△BCE是等邊三角形．

解答 解：（1）∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD，AE=BE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵∠ABD+∠CBD+∠A=90°
∴∠CBD=∠DBA=∠A=30°；
∴∠ABC=60°；
（2）∵CE是斜邊AB的中線，
∴BE=CE，
∵∠ABC=60°，
∴△BCE是等邊三角形．

點評 本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)以及線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質(zhì)，角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，等邊對等角的性質(zhì)，以及三角形的內(nèi)角和定理，熟記各性質(zhì)是解題的關鍵．