Question

如圖，已知矩形OABC的一個(gè)頂點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，2），反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象經(jīng)過矩形的對(duì)稱中心E，且與邊BC交于點(diǎn)    D．
（1）求反比例函數(shù)的解析式和點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）若過點(diǎn)D的直線y=mx+n將矩形OABC的面積分成3：5的兩部分，求此直線的解析式．

Answer 1

（1）反比例函數(shù)解析式為y=，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，2）；
（2）直線的解析式為y=﹣2x+4或y=﹣x+．

解析試題分析：（1）根據(jù)中心對(duì)稱求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，再代入反比例函數(shù)解析式求出k，然后根據(jù)點(diǎn)D的縱坐標(biāo)與點(diǎn)B的縱坐標(biāo)相等代入求解即可得到點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）設(shè)直線與x軸的交點(diǎn)為F，根據(jù)點(diǎn)D的坐標(biāo)求出CD，再根據(jù)梯形的面積分兩種情況求出OF的長，然后寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出直線解析式即可．
試題解析：（1）∵矩形OABC的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，2），E是矩形ABCD的對(duì)稱中心，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，1），
代入反比例函數(shù)解析式得，=1，
解得k=2，
∴反比例函數(shù)解析式為y=，
∵點(diǎn)D在邊BC上，
∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為2，
∴y=2時(shí)，=2，
解得x=1，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，2）；
（2）如圖，

設(shè)直線與x軸的交點(diǎn)為F，
矩形OABC的面積=4×2=8，
∵矩形OABC的面積分成3：5的兩部分，
∴梯形OFDC的面積為×8=3，
或×8=5，
∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，2），
∴若（1+OF）×2=3，
解得OF=2，
此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，0），
若（1+OF）×2=5，
解得OF=4，
此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4，0），與點(diǎn)A重合，
當(dāng)D（1，2），F(xiàn)（2，0）時(shí)，，
解得，
此時(shí)，直線解析式為y=﹣2x+4，
當(dāng)D（1，2），F(xiàn)（4，0）時(shí)，，
解得，
此時(shí)，直線解析式為y=﹣x+，
綜上所述，直線的解析式為y=﹣2x+4或y=﹣x+．
考點(diǎn)：1.矩形的性質(zhì)2.待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式3.待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式．