Question

2．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，將△ACB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△AC′B′，連接BB′，CC′交于點D．
（1）如圖1，當∠CAC′=90°時，猜想并證明B′D與AB的數(shù)量關(guān)系；
（2）如圖2當∠CAC′=α時，猜想并證明B′D與AB的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意可知△CAC′，△BAB′均為等腰直角三角形，從而可求得∠DCB=135°，∠ACD=∠ABD=45°，所以點A、D、C、B共圓，從而得到∠DAB=45°，然后等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知BD=DB′=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB；
（2）依據(jù)（1）中的方法證明AD等等腰△BAB′的角平分線，由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知BD=DB′=sin$\frac{α}{2}$•AB．

解答 解：（1）B′D=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB．
理由：如圖1所示：連接AD．

∵∠CAC′=90°，AC=AC′，
∴∠ACD=45°．
同理：∠ABD=45°．
∴∠DCB=ACD+∠ACB=45°+90°=135°．
∵∠ACD與∠ABD在AD的同側(cè)，且∠ACD與=∠ABD，
∴點A、D、C、B共圓．
∴∠DAB+∠DCB=180°．
∴∠DAB=45°．
∴AD平分∠BAB′．
又∵AB=AB′．
∴BD=DB′，AD⊥BB′．
∴B′D=$\frac{\sqrt{2}}{2}AB$．
（2）B′D=sin$\frac{α}{2}$•AB．
理由：連接AD．

∵∠CAC′=α，AC=AC′，
∴∠ACD=90°$-\frac{α}{2}$．
同理：∠ABD=90°$-\frac{α}{2}$．
∴∠DCB=ACD+∠ACB=90°$-\frac{α}{2}$+90°=180°-$\frac{α}{2}$°．
∵∠ACD與∠ABD在AD的同側(cè)，且∠ACD與=∠ABD，
∴點A、D、C、B共圓．
∴∠DAB+∠DCB=180°．
∴∠DAB=$\frac{α}{2}$．
∴AD平分∠BAB′．
又∵AB=AB′．
∴BD=DB′，AD⊥BB′．
∴B′D=sin$\frac{α}{2}$AB．

點評 本題主要考查的是銳角三角函數(shù)的定義、四點共圓的條件、等腰三角形的性質(zhì)，特殊銳角三角函數(shù)值，證得AD是∠BAB′的平分線是解題的關(guān)鍵．