Question

3．如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD為∠BAC的平分線，以AB上一點(diǎn)O為圓心的半圓經(jīng)過A、D兩點(diǎn)，交AB于E，連接OC交AD于點(diǎn)F．
（1）判斷BC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若OF：FC=2：3，CD=3，求BE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接OD，得到∠DOE=2∠DAE，由角平分線得到∠BAC=2∠DAE，得出∠DOE=∠BAC，得到OD∥AC即可；
（2）由OD∥AC一個(gè)A型和一個(gè)X型相似圖形，先求出BD，作出DH⊥AB，利用三角函數(shù)求出∠B，進(jìn)而得出OB，利用角平分線的性質(zhì)得出DH=3，從而求出圓的半徑，即可．

解答 解：（1）BC是⊙O的切線，
理由：如圖，

連接OD，
∵AD為∠BAC的平分線，
∴∠BAC=2∠BAD，
∵∠DOE=2∠BAD，
∴∠DOE=∠BAC，
∴OD∥AC，
∴∠ODB=∠ACB=90°，
∵點(diǎn)D在⊙O上，
∴BC是⊙O的切線．
（2）如圖2，

連接OD，
由（1）知，OD∥AC，
∴$\frac{OD}{AC}=\frac{OF}{FC}$，
∵$\frac{OF}{FC}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{OD}{AC}=\frac{2}{3}$，
∵OD∥AC，
∴$\frac{DB}{BC}=\frac{OD}{AC}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{DB}{CD}=\frac{2}{1}$
∵CD=3，
∴DB=6，
過點(diǎn)D作DH⊥AB，
∵AD是∠BAC的角平分線，∠ACB=90°，
∴DH=CD=3，
在Rt△BDH中，DH=3，BD=6，
∴sin∠B=$\frac{DH}{DB}=\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠B=30°，BO=$\frac{BD}{cos∠B}$=$\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=4$\sqrt{3}$，
∴∠BOD=60°，
在Rt△ODB中，sin∠DOH=$\frac{DH}{OD}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{OD}$，
∴OD=2$\sqrt{3}$，
∴BE═OB-OE=OB-OD=4$\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題是直線和圓的位置關(guān)系，主要考查了圓的性質(zhì)，切線的判定，銳角三角函數(shù)，相似三角形，解本題的關(guān)鍵是求出BD．