4.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=$\frac{1}{2}$x+1與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn),以AB為腰長(zhǎng)在第二象限內(nèi)作等腰直角△ABC(其中∠CAB=90°).
①求AB的長(zhǎng);
②求點(diǎn)C的坐標(biāo);
③你能否在x軸上找一點(diǎn)M,使△MCB的周長(zhǎng)最小?如果能,請(qǐng)求出M點(diǎn)的坐標(biāo);如果不能,說明理由.

分析 (1)由直線解析式可求得A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo),再利用勾股定理可求得AB的長(zhǎng);
(2)過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D,則可證得△ADC≌△BOA,可求得CD和OD的長(zhǎng),則可求得點(diǎn)C的坐標(biāo);
(3)找B點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′,連接B′C交x軸于點(diǎn)M,由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知點(diǎn)M即為滿足條件的點(diǎn),由B′、C的坐標(biāo)可求得直線B′C的解析式,則可求得M點(diǎn)坐標(biāo).

解答 解:
(1)在y=$\frac{1}{2}$x+1中,令y=0可得$\frac{1}{2}$x+1=0,解得x=-2,
令x=0可得y=1,
∴A(-2,0),B(0,1),
∴OA=2,OB=1,
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$;
(2)過C作CD⊥x軸于點(diǎn)D,如圖1,

∵△ABC為等腰直角三角形,
∴AB=AC,∠CAB=90°,
∴∠CAD+∠BAO=∠BAO+∠ABO=90°,
∴∠CAD=∠ABO,
在△ACD和△BOA中
$\left\{\begin{array}{l}{∠CDA=∠AOB}\\{∠CAD=∠ABO}\\{AC=AB}\end{array}\right.$
∴△ACD≌△BOA(AAS),
∴CD=AO=2,DA=BO=1,
∴OD=OA+AD=2+1=3,
∴C(-3,2);
(3)如圖2,B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為B′,連接B′C交x軸于點(diǎn)M,

則BM=B′M,
∵C、M、B′在一條線上,
∴CM+BM最小,即△MCB的周長(zhǎng)最小,
∵B(0,2),
∴B′(0,-2),
設(shè)直線B′C解析式為y=kx+b,
∴$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=2}\\{b=-2}\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=-2}\end{array}\right.$,
∴直線B′C的解析式為y=-$\frac{4}{3}$x-2,
令y=0,可得-$\frac{4}{3}$x-2=0,解得x=-$\frac{3}{2}$,
∴存在滿足條件的點(diǎn)M,其坐標(biāo)為(-$\frac{3}{2}$,0).

點(diǎn)評(píng) 本題為一次函數(shù)的綜合應(yīng)用,涉及待定系數(shù)法、勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí).在(1)中求得A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵,在(2)中構(gòu)造三角形全等是解題的關(guān)鍵,在(3)中確定出M點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵.本題考查知識(shí)點(diǎn)較多,綜合性較強(qiáng),但難度不大,較易得分.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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14.如圖,AB是⊙O的直徑,BD與⊙O相切于B,C為⊙O上點(diǎn),OD⊥BC,DO與⊙O相交于點(diǎn)E,AE交CB于F.
(1)求證:CD與⊙O相切;
(2)AF=3,EF=1,求CF的長(zhǎng).

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15.如圖,拋物線y=$\frac{1}{2}$x2-$\frac{5}{2}$x+2與x軸相交于A、B兩點(diǎn),與y軸相交于點(diǎn)C,點(diǎn)D是直線BC下方拋物線上一點(diǎn),過點(diǎn)D作y軸的平行線,與直線BC相交于點(diǎn)E.
(1)求直線BC的解析式;
(2)當(dāng)線段DE的長(zhǎng)度最大時(shí),求點(diǎn)D的坐標(biāo).

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12.如圖,長(zhǎng)2.5m的梯子靠在墻上,梯子的底部離墻的底端1.5m.
(1)求梯子的頂端與地面的距離h;
(2)由于地面有水,梯子底部向右滑動(dòng),梯子頂端隨之向下滑動(dòng),小明發(fā)現(xiàn)梯子底部向右滑動(dòng)了0.5m,他認(rèn)為梯子頂端也向下了0.5m.你贊同小明的看法嗎?說說你的理由.

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19.一個(gè)小立方體的六個(gè)面分別標(biāo)有字母A,B,C,D,E,F(xiàn)從三個(gè)不同方向看到的情形如圖所示.
(1)A對(duì)面的字母是C,B對(duì)面的字母是D,E對(duì)面的字母是F.(請(qǐng)直接填寫答案)

(2)若A=2x-1,B=-3x+9.C=-7.D=1,E=4x+5,F(xiàn)=9,且字母A與它對(duì)面的字母表示的數(shù)互為相反數(shù),求B,E的值.

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9.如圖,在邊長(zhǎng)為1的正方形組成的網(wǎng)格中,△AOB的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上,點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是A(3,2)、B(1,3).△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A1OB1
(1)畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形;
(2)點(diǎn)A1的坐標(biāo)為(-2,3);
(3)在旋轉(zhuǎn)過程中,點(diǎn)B經(jīng)過的路徑為弧BB1,求弧BB1的長(zhǎng)為多少.

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16.當(dāng)x為何值時(shí),$\frac{2}{5}$x+$\frac{x-1}{2}$和$\frac{8}{5}$x-$\frac{3(x-1)}{2}$的值互為相反數(shù)?

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13.為了解學(xué)生參加體育活動(dòng)的情況,錦江區(qū)某中學(xué)德育處對(duì)本校部分學(xué)生進(jìn)行了隨機(jī)問卷調(diào)查,其中一個(gè)問題是“你平均每天參加體育活動(dòng)的時(shí)間是多少?”共有如下四個(gè)選項(xiàng):
A.0.5小時(shí)以下;B.0.5~1小時(shí)(不包含1小時(shí));C.1~1.5小時(shí)(包含1小時(shí));D.1.5小時(shí)以上
圖①、圖②是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息解答以下問題:
(1)試問本次問卷調(diào)查一共調(diào)查了多少名學(xué)生?
(2)請(qǐng)將圖①的條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(3)求在圖②的扇形統(tǒng)計(jì)圖中,C部分所對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù);
(4)若全校有2000名學(xué)生,請(qǐng)你估計(jì)全?赡苡卸嗌倜麑W(xué)生平均每天參加體育活動(dòng)時(shí)間在1小時(shí)以上(包含1小時(shí))?

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14.計(jì)算:
(1)-33+(-1)2016÷$\frac{1}{6}$+(-5)2
(2)($\frac{3}{4}$+$\frac{7}{12}$-$\frac{7}{6}$)×(-60)

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