Question

14．如圖1，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠BAC的平分線AD交⊙O于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DF∥BC，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
（1）求證：△BDE∽∠ADB；
（2）試判斷直線DF與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）如圖2，條件不變，若BC恰好是⊙O的直徑，且AB=6，AC=8，求DF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由AD平分∠BAC，易得∠BAD=∠CAD=∠CBD，又由∠BDE是公共角，即可證得：△BDE∽∠ADB；
（2）首先連接OD，由AD平分∠BAC，可得$\widehat{BD}$=$\widehat{CD}$，由垂徑定理，即可判定OD⊥BC，又由BC∥DF，證得結(jié)論；
（3）首先過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AD于點(diǎn)H，連接OD，易證得△BDH∽△BCA，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得BH的長(zhǎng)，繼而求得AD的長(zhǎng)，然后證得△FDB∽△FAD，又由相似的性質(zhì)，求得答案．

解答 （1）證明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC，
∵∠DAC=∠DBC，
∴∠DBC=∠BAD，
∵∠BDE=∠ADB，
∴△BDE∽∠ADB；

（2）相切．
理由：如圖1，連接OD，
∵∠BAD=∠DAC，
∴$\widehat{BD}$=$\widehat{CD}$，
∴OD⊥BC，
∵DF∥BC，
∴OD⊥DF，
∴DF與⊙O相切；

（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AD于點(diǎn)H，連接OD，
則∠BHD=90°，
∵BC是直徑，
∴∠BAC=90°，
∴∠BHD=∠BAC，
∵∠BDH=∠C，
∴△BDH∽△BCA，
∴$\frac{BH}{BA}$=$\frac{BD}{BC}$，
∵AB=6，AC=8，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=10，
∴OB=OD=5，
∴BD=$\sqrt{O{B}^{2}+O{D}^{2}}$=5$\sqrt{2}$，
∴$\frac{BH}{6}$=$\frac{5\sqrt{2}}{10}$，
∴BH=3$\sqrt{2}$，
∴DH=$\sqrt{B{D}^{2}-B{H}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，AH=$\sqrt{A{B}^{2}-B{H}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∴AD=AH+DH=7$\sqrt{2}$，
∵DF與⊙O相切，
∴∠FDB=∠FAD，
∵∠F=∠F，
∴△FDB∽△FAD，
∴$\frac{DF}{AF}$=$\frac{BF}{DF}$=$\frac{BD}{AD}$=$\frac{5\sqrt{2}}{7\sqrt{2}}$，
∴AF=$\frac{7}{5}$DF，BF=$\frac{5}{7}$DF，
∴AB=AF-BF=$\frac{7}{5}$DF-$\frac{5}{7}$DF=6，
解得：DF=$\frac{35}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于圓的綜合題．考查了切線的判定與性質(zhì)、圓周角定理、垂徑定理、弦切角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．