Question

17．如圖，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象與一次函數(shù)y=-$\frac{1}{2}$x的圖象交于A、B兩點(diǎn)，若B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，點(diǎn)P是第二象限內(nèi)反比例函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn)，且在直線AB的上方．
（1）求反比例函數(shù)的解折式．
（2）若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為-1，判斷△PAB的形狀，并說明理由．
（3）若直線PA、PB與x軸分別交于點(diǎn)M、N，是否存在一點(diǎn)P，使△PMN為等邊三角形，并求出此時(shí)的點(diǎn)M、N的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，且在在一次函數(shù)y=-$\frac{1}{2}$x的圖象上，即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后代入反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$，即可求得答案；
（2）由點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為-1，可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，又由A與B關(guān)于原點(diǎn)對稱，可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后利用勾股定理的逆定理，判定△PAB是直角三角形；
（3）首先設(shè)P（m，-$\frac{2}{m}$），直線PA的解析式為：y=ax+b，設(shè)直線PB的解析式為y=px+q，然后利用待定系數(shù)法，求得直線PA與PB的解析式，則可求得點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，即可求得MN的長，再過P作PD⊥x軸，垂足為D，繼而求得m的值，即可求得答案．

解答 解：（1）∵點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為2，又點(diǎn)B在一次函數(shù)y=-$\frac{1}{2}$x的圖象上，
∴點(diǎn)B（2，-1），
又∵點(diǎn)B在y=$\frac{k}{x}$上，
∴k=xy=2×（-1）=-2，
∴反比例函數(shù)的解折式為：y=-$\frac{2}{x}$；

（2）∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為-1，又點(diǎn)P在y=-$\frac{2}{x}$上，
∴P（-1，2），
∵A與B關(guān)于原點(diǎn)對稱，
∴A（-2，1），B（2，-1），
∴AB²=（-2-2）²+[1-（-1）]²=20，PB²=（2+1）²+（2+1）²=18，PA²=（2-1）²+（-1+2）²=2，
∴AB²=PB²+PA²，
∴△PAB是直角三角形；

（3）令P（m，-$\frac{2}{m}$），
設(shè)直線PA的解析式為：y=ax+b，設(shè)直線PB的解析式為y=px+q，
把P（m，-$\frac{2}{m}$），A（-2，1）代入y=ax+b得：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2}{m}=am+b}\\{1=-2a+b}\end{array}\right.$，
解之得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{m}}\\{b=1-\frac{2}{m}}\end{array}\right.$
∴直線PA的解析式為：y=-$\frac{1}{m}$x+1-$\frac{2}{m}$，
∴M（m-2，0），
把P（m，-$\frac{2}{m}$），B（2，-1）代入y=px+q得：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2}{m}=pm+q}\\{-1=2p+q}\end{array}\right.$，
解之得$\left\{\begin{array}{l}{p=\frac{1}{m}}\\{q=-1-\frac{2}{m}}\end{array}\right.$，
∴直線PB的解析式為：y=$\frac{1}{m}$x-1-$\frac{2}{m}$，
∴N（m+2，0），
∴MN=4，
如右圖，過P作PD⊥x軸，垂足為D，
∵△PMN是等邊三角形．
∴PD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×4=2$\sqrt{3}$，
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為2$\sqrt{3}$，
又∵P在y=-$\frac{2}{x}$上，
∴P（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，2$\sqrt{3}$），即m=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴M（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$-2，0），N（2-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0）．

點(diǎn)評 此題屬于反比例函數(shù)綜合題．考查了待定系數(shù)求函數(shù)解析式，勾股定理的逆定理、等邊三角形的性質(zhì)以及直線與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題．注意求得MN的長，準(zhǔn)確作出輔助線是關(guān)鍵．