Question

【題目】定義：在平面直角坐標系中，將點P繞點T(t，0)(1＞0)旋轉(zhuǎn)180°得到點Q，則稱點Q為點P的“發(fā)展點”．

(1)當t=2時，點(0，0)的“發(fā)展點”坐標為______，點(-1，-1)的“發(fā)展點”坐標為______．

(2)若t＞3，則點(3，4)的“發(fā)展點”的橫坐標為______(用含t的代數(shù)式表示)．

(3)若點P在直線y=2x+6上，其“發(fā)展點”Q在直線y=2x-8上，求點T的坐標．

(4)點P(3，3)在拋物線y=-x2+k上，點M在這條拋物線上，點Q為點P的“發(fā)展點”．若△PMQ是以點M為直角頂點的等腰直角三角形，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）（4，0），（5，1）；（2）2t-3；（3）點T的坐標為（，0）；（4）t= 或t=7．

【解析】

（1）、（2）利用數(shù)形結(jié)合的思想和中心對稱的性質(zhì)求解；

（3）先確定直線y=2x+6與x軸的交點坐標為（-3，0），直線y=2x-8與x軸的交點坐標為（4，0），利用“發(fā)展點”的定義列方程t-（-3）=4-t，然后解方程即可得到T點坐標；

（4）先把（2，2）代入y=-x2+k中求出k得到拋物線解析式為y=-x2+6，利用點Q為點P的“發(fā)展點”得到點T為PQ的中點，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到△PTM為等腰直角三角形，討論：當0＜t≤2時，把P點繞T點順時針旋轉(zhuǎn)90°得到點M，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)易得M（t+2，t-2），然后M點的坐標代入y=-x2+6得-（t+2）2+6=t-2，再解方程即可；當t＞2時，利用同樣方法求對應(yīng)t的值．

（1）把（0，0）繞點（2，0）旋轉(zhuǎn)180°得到點的坐標為（4，0）；把（-1，-1）繞點（2，0）旋轉(zhuǎn)180°得到點的坐標為（5，1）；

（2）把（3，4）繞點（t，0）旋轉(zhuǎn)180°得到點的坐標為（2t-3，-4）； ，

故點（3,4)的“發(fā)展點”的橫坐標為2t-3；

（3）設(shè)點P的坐標為（m，2m+6），則點Q的坐標為（2t-m，-2m-6）．

把（2t-m，-2m-6）代入y=2x-8，得2（2t-m）-8=-2m-6，解得t=．

∴點T的坐標為（，0）．

（4）把（3，3）代入y= -x2+k得，-32+k=3，解得k=12．

∴拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達式為y= -x2+12．

∵△PMQ是以點M為直角頂點的等腰直角三角形，T為PQ的中點，

∴△PTM是以點T為直角頂點的等腰直角三角形．

當0＜t≤3時，點M的坐標可表示為（t+3，t-3），代入y= -x2+12得，

-（t+3）2+12=t-3，

解得t1= ，t 2=（不合題意，舍去）．

當t＞3時，點M的坐標可表示為（t-3，3-t），代入y=-x2+12得，

-（t-3）2+12=3-t，解得t1=0（不合題意，舍去），t2=7．

綜上, t= 或t=7．