Question

【題目】如圖1，已知△ABC，AB=AC，以邊AB為直徑的⊙O交BC于點D，交AC于點E，連接DE．

（1）求證：DE=DC．

（2）如圖2，連接OE，將∠EDC繞點D逆時針旋轉，使∠EDC的兩邊分別交OE的延長線于點F，AC的延長線于點G．試探究線段DF、DG的數(shù)量關系．

Answer 1

【答案】（1）證明見試題解析；（2）DF=DG．

【解析】

（1）利用院內接四邊形的性質得到∠DEC=∠B，然后利用等角對等邊得到結論．

（2）利用旋轉的性質及圓內接四邊形的性質證得△EDF≌△CDG后即可得到結論．

（1）∵四邊形ABDE內接于⊙O，

∴∠B+∠AED=180°，

∵∠DEC+∠AED=180°，

∴∠DEC=∠B，

∵AB=AC，

∴∠C=∠B，

∴∠DEC=∠C，

∴DE=DC；

（2）∵四邊形ABDE內接于⊙O，

∴∠A+∠BDE=180°，

∵∠EDC+∠BDE=180°，

∴∠A=∠EDC，

∵OA=OE，∴∠A=∠OEA，

∵∠OEA=∠CEF，∴∠A=∠CEF，∴∠EDC=∠CEF，

∵∠EDC+∠DEC+∠DCE=180°，∴∠CEF+∠DEC+∠DCE=180°，即∠DEF+∠DCE=180°，

又∵∠DCG+∠DCE=180°，∴∠DEF=∠DCG，

∵∠EDC旋轉得到∠FDG，∴∠EDC=∠FDG，

∴∠EDC﹣∠FDC=∠FDG﹣∠FDC，即∠EDF=∠CDG，

∵DE=DC，∴△EDF≌△CDG（ASA），

∴DF=DG．