Question

如圖，△ABC中，AB=4，AC=2，BC=2

3

，以BC為直徑的半圓交AB于點(diǎn)D，以A為圓心，AC為半徑的扇形交AB于點(diǎn)E．
（1）以BC為直徑的圓與AC所在的直線有何位置關(guān)系？請(qǐng)說明理由；
（2）求圖中陰影部分的面積（結(jié)果可保留根號(hào)和π）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)切線的判定定理，證明∠ACB=90°即可；
（2）根據(jù)S_陰影=S_半圓-（S_△ABC-S_扇形ACE），即可求解．

解答：解：（1）相切．（1分）
理由：∵2²+（2

3

）²=16=4²，
∴AC²+BC²=AB²．
∴∠ACB=90°．
∴以BC為直徑的圓與AC所在的直線相切．（4分）

（2）∵Rt△ABC中，cosA=

AC

AB

=

1

2

．
∴∠A=60°．（5分）
∴S_陰影=S_半圓-（S_△ABC-S_扇形ACE）
=

1

2

π（

3

）²-（

1

2

×2×2

3

-

60

360

π×2²）=

13π

6

-2

3

．（8分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查的是直線與圓的位置關(guān)系和扇形公式的求法，正確理解陰影部分的面積等于S_半圓-（S_△ABC-S_扇形ACE）是解題的關(guān)鍵．