Question

16．如圖，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=90°，M，N分別為AC，BD的中點，連接MN，ON，求證：∠MNO=45°．

Answer 1

分析 連接OM，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AC=BD，∠C=∠D，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到OM=$\frac{1}{2}$AC，ON=$\frac{1}{2}$BD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠MOC=∠C=∠D=∠MOD，推出△MPN是等腰直角三角形，于是得到結(jié)論．

解答 證明：連接OM，
在△AOC與△BOD中，$\left\{\begin{array}{l}{AO=BO}\\{∠AOB=∠COD}\\{OC=OD}\end{array}\right.$，
∴△AOC≌△BOD，
∴AC=BD，∠C=∠D，
∵M，N分別為AC，BD的中點，
∴OM=$\frac{1}{2}$AC，ON=$\frac{1}{2}$BD，
∴OM=ON，
∴OM=CM=ON=DN，
∴∠MOC=∠C=∠D=∠MOD，
∴∠COM+∠BON=90°，
∴△MPN是等腰直角三角形，
∴∠MNO=45°．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，證得△MON是等腰直角三角形是解題的關鍵．