Question

【題目】如圖1，直線y=2x﹣2與曲線y= （x＞0）相交于點(diǎn)A（2，n），與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B，C．

（1）求曲線的解析式；
（2）試求ABAC的值？
（3）如圖2，點(diǎn)E是y軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作直線AC的平行線，分別交x軸于點(diǎn)F，交曲線于點(diǎn)D．是否存在一個(gè)常數(shù)k，始終滿足：DEDF=k？如果存在，請(qǐng)求出這個(gè)常數(shù)k；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵直線y=2x﹣2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，n），

∴n=2×2﹣2=2，即A的坐標(biāo)是（2，2），

把（2，2）代入y= 得m=4，

則反比例函數(shù)的解析式是y= （x＞0）

（2）

解：過(guò)A作AM⊥x軸于點(diǎn)M．

在y=2x﹣2中，令x=0解得y=﹣2，則C的坐標(biāo)是（0，﹣2），令y=0，則2x﹣2=0，解得x=1，則B的坐標(biāo)是（1，0）；

則AB= = = ，

BC= = = ，

則ABAC= ×2 =10

（3）

解：存在常數(shù)k，過(guò)點(diǎn)D作DN⊥x軸于點(diǎn)N．過(guò)點(diǎn)E作EG⊥DN于點(diǎn)G，則∠AMB=∠DNF=∠DGE=90°，

設(shè)D的坐標(biāo)是（a， ），則EG=a，DN= ，

∵DF∥AC，EG∥FN，

∴∠ABM=∠DFG=∠DEG，

∴△ABM∽△DFN，△ABM∽△DEG，

∴ ，有DF： = ，則DF=2 a，

又 = ，有 = ，則ED= a，

于是，DEDF= a =10．

即存在常數(shù)k=10

【解析】（1）首先把A代入直線解析式求得A的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求得反比例函數(shù)解析式；（2）首先求得A和B的坐標(biāo)，過(guò)A作AM⊥x軸于點(diǎn)M，然后利用勾股定理求得AB和BC的長(zhǎng)，則AB和AC的長(zhǎng)即可求得，則兩線段的乘積即可求得；（3）過(guò)點(diǎn)D作DN⊥x軸于點(diǎn)N．過(guò)點(diǎn)E作EG⊥DN于點(diǎn)G，易證△ABM∽△DFN，△ABM∽△DEG，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等即可求解．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)和反比例函數(shù)的圖象的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握一次函數(shù)是直線，圖像經(jīng)過(guò)仨象限；正比例函數(shù)更簡(jiǎn)單,經(jīng)過(guò)原點(diǎn)一直線；兩個(gè)系數(shù)k與b,作用之大莫小看，k是斜率定夾角,b與Y軸來(lái)相見(jiàn),k為正來(lái)右上斜,x增減y增減；k為負(fù)來(lái)左下展,變化規(guī)律正相反；k的絕對(duì)值越大,線離橫軸就越遠(yuǎn)；反比例函數(shù)的圖像屬于雙曲線．反比例函數(shù)的圖象既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形．有兩條對(duì)稱(chēng)軸：直線y=x和 y=-x．對(duì)稱(chēng)中心是：原點(diǎn)才能正確解答此題．