Question

【題目】如圖，△ABC中，∠BAC＝30°且AB＝AC，P是底邊上的高AH上一點．若AP+BP+CP的最小值為2，則BC＝_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

如圖將△ABP繞點A順時針旋轉60°得到△AMG．連接PG，CM．首先證明當M，G，P，C共線時，PA+PB+PC的值最小，最小值為線段CM的長，想辦法求出AC的長即可解決問題.

如圖將△ABP繞點A順時針旋轉60°得到△AMG．連接PG，CM．

∵AB=AC，AH⊥BC，

∴∠BAP=∠CAP，

∵PA=PA，

∴△BAP≌△CAP（SAS），

∴PC=PB，

∵MG=PB，AG=AP，∠GAP=60°，

∴△GAP是等邊三角形，

∴PA=PG，

∴PA+PB+PC=CP+PG+GM，

∴當M，G，P，C共線時，PA+PB+PC的值最小，最小值為線段CM的長，

∵AP+BP+CP的最小值為2，

∴CM=2，

∵∠BAM=60°，∠BAC=30°，

∴∠MAC=90°，

∴AM=AC=2，

作BN⊥AC于N．則BN=AB=1，AN=，CN=2-，

∴BC=．

故答案為．