Question

【題目】如圖，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF．

（1）求證：AD平分∠BAC．

（2）寫出AB+AC與AE之間的等量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）AB+AC＝2AE，理由詳見(jiàn)解析.

【解析】

（1）根據(jù)相“HL”定理得出△BDE≌△CDF，故可得出DE＝DF，所以AD平分∠BAC；

（2）由（1）中△BDE≌△CDE可知BE＝CF，AD平分∠BAC，故可得出△AED≌△AFD，所以AE＝AF，故AB+AC＝AE﹣BE+AF+CF＝AE+AE＝2AE．

證明：（1）∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，

∴∠E＝∠DFC＝90°，

∴△BDE與△CDE均為直角三角形，

∵在Rt△BDE與Rt△CDF中,

∴Rt△BDE≌Rt△CDF，

∴DE＝DF，

∴AD平分∠BAC；

（2）AB+AC＝2AE．

理由：∵BE＝CF，AD平分∠BAC，

∴∠EAD＝∠CAD，

∵∠E＝∠AFD＝90°，

∴∠ADE＝∠ADF，

在△AED與△AFD中，

∴△AED≌△AFD，

∴AE＝AF，

∴AB+AC＝AE﹣BE+AF+CF＝AE+AE＝2AE．