Question

如圖，在?OABC中，點(diǎn)A在x軸上，∠AOC=60°，0C=4cm．OA=8cm．動點(diǎn)P從點(diǎn)0出發(fā)，以1cm/s的速度沿線段OA→AB運(yùn)動；動點(diǎn)Q同時從點(diǎn)O出發(fā)，以acm/s的速度沿線段OC→CB運(yùn)動，其中一點(diǎn)先到達(dá)終點(diǎn)B時，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時間為t秒．
（1）填空：點(diǎn)C的坐標(biāo)是（______，______

Answer 1

【答案】分析：（1）首先過點(diǎn)C作CD⊥OA于D，過點(diǎn)B作BE⊥OA于E，連接OB，由∠AOC=60°，0C=4cm，利用三角函數(shù)求得OD與CD的長，即可得點(diǎn)C的坐標(biāo)；又由四邊形OABC是平行四邊形，可得BE與AB的長，繼而求得AE的長，然后由勾股定理，即可求得對角線OB的長度；
（2）分別從當(dāng)0＜t≤4時，當(dāng)4≤t≤8時與當(dāng)8≤t≤12時去分析求解即可求得答案；
（3）分別從當(dāng)△OPM∽△OAB與當(dāng)△OPM∽△OBA時去分析，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得答案．
解答： 解：（1）過點(diǎn)C作CD⊥OA于D，過點(diǎn)B作BE⊥OA于E，連接OB，
∵∠AOC=60°，0C=4cm，
∴OD=0C•cos60°=4×=2（cm），CD=OC•sin60°=4×=2（cm），
∴C（2，2），
∵四邊形OABC是平行四邊形，
∴AB=OC=4cm，BC∥OA，
∴BE=CD=2cm，
∴AE==2（cm），
∵OA=8cm，
∴OE=OA+AE=10（cm），
∴OB==4cm．…（4分）

（2）①當(dāng)0＜t≤4時，
過點(diǎn)Q作QD⊥x軸于點(diǎn)D（如圖1），則QD=t．
∴S=OP•QD=t²．…（5分）

②當(dāng)4≤t≤8時，
作QE⊥x軸于點(diǎn)E（如圖2），則QE=2．
∴S=OP•QE=t． …（6分）

③當(dāng)8≤t＜12時，
解法一：延長QP交x軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)P作PH⊥AF于點(diǎn)H（如圖3）．
∴△PBQ與△PAF均為等邊三角形，
∴OF=OA+AP=t，AP=t-8．
∴PH=（t-8）．…（7分）
∴S=S_△OQF-S_△OPF
=t•2-t•（t-8）
=-t²+3t． …（8分）
當(dāng)t=8時，S最大． …（9分）

解法二：過點(diǎn)P作PH⊥x軸于點(diǎn)H（如圖3）．
∴△PBQ為等邊三角形．
∵AP=t-8．
∴PH=（t-8）． …（7分）
∴S=S_梯形OABQ-S_△PBQ-S_△OAP=（20-t）-（12-t）²-2（t-8）．
=-t²+3t． …（8分）
當(dāng)t=8時，S最大． …（9分）

（3）①當(dāng)△OPM∽△OAB時（如圖4），則PQ∥AB．
∴CQ=OP．
∴at-4=t，a=1+．…（10分）
t的取值范圍是0＜t＜8． …（11分）

②當(dāng)△OPM∽△OBA時（如圖5），
則，
∴，
∴OM=． …（12分）
又∵QB∥OP，
∴△BQM∽△OPM，
∴，
∴，
整理得t-at=2，
∴a=1-．…（13分）
t的取值范圍是6≤t≤8．
綜上所述：a=1+（0＜t＜8）或a=1-（6≤t≤8）． …（14分）
點(diǎn)評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理三角函數(shù)、二次函數(shù)的最值以及三角形面積問題．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與函數(shù)思想的應(yīng)用．