Question

【題目】聯(lián)想三角形外心的概念，我們可引入如下概念：到三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，叫做此三角形的準(zhǔn)外心．例：已知，則點(diǎn)為的準(zhǔn)外心（如圖）．

如圖，為正三角形的高，準(zhǔn)外心在高上，且，求的度數(shù)．

如圖，若為直角三角形，，，，準(zhǔn)外心在邊上，試探究的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】∠APB=90°；（2）PA=或6．

【解析】

（1）利用分類討論：①若PB=PC，②若PA=PC，③若PA=PB，進(jìn)而求出即可；
（2）利用分類討論：①若PB=PA，②若PA=PC，③若PC=PB，進(jìn)而求出即可．

（1）①若PB=PC，連結(jié)PB，則∠PCB=∠PBC．
∵CD為等邊三角形的高．∴AD=BD，∠PCB=30°，
∴∠PBD=∠PBC=30°，∴PD=DB=AB．
與已知PD=AB矛盾，∴PB≠PC．
②若PA=PC，連結(jié)PA，

則∠PCA=∠PAC．
∵CD為等邊三角形的高．∴AD=BD，∠PCA=30°，
∴∠PAD=∠PAC=30°，∴PD=DA=AB．
與已知PD=AB矛盾，∴PA≠PC．
③若PA=PB，由PD=AB，得PD=BD，
∴∠BPD=45°，
故∠APB=90°；
（2）①若PB=PA，設(shè)PA=x，
∵∠C=90°，AB=13，BC=5，
∴AC=12，則CP=12-x，
∴x2=（12-x）2+52，
∴解得：x=，即PA=．
②若PA=PC，則PA=6．
③若PC=PB，由圖知，

在Rt△PBC中，不可能，
故PA=或6．