Question

【題目】閱讀理解：對于任意正實數a、b，∵≥0，　∴≥0，

∴≥，只有當a＝b時，等號成立．

結論：在≥（a、b均為正實數）中，若ab為定值p，則a+b≥，只有當a=b時，a+b有最小值．

根據上述內容，填空：若m＞0，只有當m＝ 時，有最小值，最小值為 ．

探索應用：如圖，已知，，為雙曲線（x＞0）上的任意一點，過點作⊥x軸于點，⊥y軸于點D．求四邊形面積的最小值，并說明此時四邊形的形狀．

Answer 1

【答案】2，2，四邊形面積的最小值為12，四邊形ABCD是菱形.

【解析】

應用上述結論，直接代入即可求出的最小值；首先設P的坐標為：（x，），由S四邊形ABCD=S△ABD+S△CBD，可得S四邊形ABCD=（x++4），繼而求得答案．

解：∵a+b≥（a、b均為正實數）中，若ab為定值p，則a+b≥，只有當a=b時，a+b有最小值．
∴≥，
∴≥2，
當m=時，
解得：m=2或-2（不合題意舍去），
故當m=2，最小值是2；

設P的坐標為：（x，），
∵A（-2，0），B（0，-3），
則BD=3+，OA=2，OC=x，
則S四邊形ABCD=S△ABD+S△CBD=2（3+）+x（3+）==（x++4）≥×（2+4）=12，
∴當且僅當x=，即x=2時，四邊形ABCD面積有最小值，最小值是12；
∴點P的坐標為：（2，3），
∴OA=OC，OB=OD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵AC⊥BD，
∴四邊形ABCD是菱形．