Question

下表給出了代數式x²+bx+c與x的一些對應值：

x	…	-1	0	1	2	3	4	…
X2+bx+c	…		3		-1		3	…

（1）根據表格中的數據，確定b、c的值，并填齊表格中空白處的對應值；
（2）代數式x²+bx+c是否有最小值？如果有，求出最小值；如果沒有，請說明理由；
（3）設y=x²+bx+c的圖象與x軸的交點為A、B兩點（A點在B點左側），與y軸交于點C，P點為線段AB上一動點，過P點作PE∥AC交BC于E，連接PC，當△PEC的面積最大時，求P點的坐標．

Answer 1

（1）由題意知：

c=3 4+2b+c=-1

解得b=-4（1分）

x	…	-1	0	1	2	3	4	…
X2+bx+c	…	8	3	0	-1	0	3	…

（2）∵x²-4x+3=（x-2）²-1≥-1
∴x²-4x+3有最小值，最小值為-1；（3分）

（3）由（1）可知，點A、B的坐標分別為（1，0），（3，0）、設點P的坐標為（x，0），過點E作EM⊥x軸于點M，
∵PE∥AC，∴△EPB∽△CAB
∵EM、CO分別為△EPB與△CAB邊上的高，
∴

EM

CO

=

PB

AB

（4分）
∵CO=3，AB=2，PB=3-x，∴EM=

3

2

(3-x)（5分）
∴S_△PEC=S_△PBC-S_△PBE=

1

2

PB•CO-

1

2

PB•EM（6分）
=

1

2

(3-x)[3-

3(3-x)

2

]=-

3

4

(x-2)2+

3

4

（7分）
∴當x=2時，S有最大值

3

4

；
∴當點P的坐標為（2，0）時，△PEC的面積最大．（8分）