Question

5．如圖，在7×7網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1．
（1）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，使點(diǎn)A（3，4）、C（4，2），則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，0）；
（2）求圖中格點(diǎn)△ABC的面積；
（3）判斷格點(diǎn)△ABC的形狀，并說明理由．
（4）在x軸上有一點(diǎn)P，使得PA+PC最小，則PA+PC的最小值是$\sqrt{17}$．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)A和C的坐標(biāo)確定坐標(biāo)軸的位置，然后確定B的坐標(biāo)；
（2）利用矩形的面積減去三個(gè)直角三角形的面積求解；
（3）利用勾股定理的逆定理即可作出判斷；
（4）作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C′連接AC′交x軸與點(diǎn)P，連接PC，依據(jù)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)可得到PC=PC′，然后依據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知當(dāng)點(diǎn)A，P，C′在一條直線上時(shí)，AP+PC有最小值．

解答 解：（1）B的坐標(biāo)是（0，0）．
故答案是（0，0）；
（2）S_△ABC=4×4-$\frac{1}{2}$×4×2-$\frac{1}{2}$×3×4-$\frac{1}{2}$×1×2=5，
（3）∵AC²=2²+12=5，BC²=2²+4²=20，AB²=4²+3²=25，
∴AC²+BC²=AB²，
∴△ABC是直角三角形．
（4）如圖1所示：作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C′連接AC′交x軸與點(diǎn)P，連接PC．

∵點(diǎn)C與點(diǎn)C′關(guān)于x軸對(duì)稱，
∴PC=PC′．
∴AP+PC=AP+PC．
∴當(dāng)A，P，C′在一條直線上時(shí)，AP+PC有最小值，最小值為AC′的長(zhǎng)．
∵AC′=$\sqrt{{4}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{17}$．
∴AP+PC的最小值為$\sqrt{17}$．
故答案為：$\sqrt{17}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是軸對(duì)稱路徑最短問題、勾股定理的應(yīng)用，勾股定理的逆定理的應(yīng)用，明確點(diǎn)A，P，C′在一條直線上時(shí)，AP+PC有最小值是解題的關(guān)鍵．