【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中有一直角三角形AOB,O為坐標(biāo)原點(diǎn),OA=1,tan∠BAO=3,將此三角形繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△DOC,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)若點(diǎn)P是第二象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn),其橫坐標(biāo)為t,設(shè)拋物線對(duì)稱(chēng)軸l與x軸交于一點(diǎn)E,連接PE,交CD于F,求以C、E、F為頂點(diǎn)三角形與△COD相似時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).
【答案】(1)拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3;(2)當(dāng)△CEF與△COD相似時(shí),P點(diǎn)的坐標(biāo)為(﹣1,4)或(﹣2,3).
【解析】
(1)根據(jù)正切函數(shù),可得OB,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),可得△DOC≌△AOB,根據(jù)待定系數(shù)法,可得函數(shù)解析式;
(2)分兩種情況討論:①當(dāng)∠CEF=90°時(shí),△CEF∽△COD,此時(shí)點(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸上,即點(diǎn)P為拋物線的頂點(diǎn);②當(dāng)∠CFE=90°時(shí),△CFE∽△COD,過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸于M點(diǎn),得到△EFC∽△EMP,根據(jù)相似三角形的性質(zhì),可得PM與ME的關(guān)系,解方程,可得t的值,根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系,可得答案.
(1)在Rt△AOB中,OA=1,tan∠BAO3,∴OB=3OA=3.
∵△DOC是由△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°而得到的,∴△DOC≌△AOB,∴OC=OB=3,OD=OA=1,∴A,B,C的坐標(biāo)分別為(1,0),(0,3),(﹣3,0),代入解析式為
,解得:,拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3;
(2)∵拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3,∴對(duì)稱(chēng)軸為l1,∴E點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣1,0),如圖,分兩種情況討論:
①當(dāng)∠CEF=90°時(shí),△CEF∽△COD,此時(shí)點(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸上,即點(diǎn)P為拋物線的頂點(diǎn),P(﹣1,4);
②當(dāng)∠CFE=90°時(shí),△CFE∽△COD,過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸于M點(diǎn),∵∠CFE=∠PME=90°,∠CEF=∠PEM,∴△EFC∽△EMP,∴,∴MP=3ME.
∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t,∴P(t,﹣t2﹣2t+3).
∵P在第二象限,∴PM=﹣t2﹣2t+3,ME=﹣1﹣t,t<0,∴﹣t2﹣2t+3=3(﹣1﹣t),解得:t1=﹣2,t2=3(與t<0矛盾,舍去).
當(dāng)t=﹣2時(shí),y=﹣(﹣2)2﹣2×(﹣2)+3=3,∴P(﹣2,3).
綜上所述:當(dāng)△CEF與△COD相似時(shí),P點(diǎn)的坐標(biāo)為(﹣1,4)或(﹣2,3).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AB∥CD,AB=CD,∠A=∠ADC,E,F(xiàn)分別為AD,CD的中點(diǎn),連接BE,BF,延長(zhǎng)BE交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M.
(1)求證:四邊形ABCD為矩形;
(2)若MD=6,BC=12,求BF的長(zhǎng)度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一次函數(shù)y=ax+b和反比例函數(shù)y在同一直角坐標(biāo)系中的大致圖象是( 。
A. B.
C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1.在△ABC中,矩形EFGH的一邊EF在AB上,頂點(diǎn)G、H分別在BC、AC上,CD是邊AB上的高,CD交GH于點(diǎn)I.若CI=4,HI=3,AD.矩形DFGI恰好為正方形.
(1)求正方形DFGI的邊長(zhǎng);
(2)如圖2,延長(zhǎng)AB至P.使得AC=CP,將矩形EFGH沿BP的方向向右平移,當(dāng)點(diǎn)G剛好落在CP上時(shí),試判斷移動(dòng)后的矩形與△CBP重疊部分的形狀是三角形還是四邊形,為什么?
(3)如圖3,連接DG,將正方形DFGI繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度得到正方形DF′G′I′,正方形DF′G′I′分別與線段DG、DB相交于點(diǎn)M、N,求△MNG′的周長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,在Rt△ABC中,∠C=90,AC=4cm,BC=3cm,點(diǎn)P由點(diǎn)B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng),速度為1cm/s;點(diǎn)Q由點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng),速度為2cm/s;連結(jié)PQ。若設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)(0<t<2),解答下列問(wèn)題:
(1)當(dāng)t為何值時(shí)?PQ//BC?
(2)設(shè)△APQ的面積為y(cm2),求y與t之間的函數(shù)關(guān)系?
(3)是否存在某一時(shí)刻t,使線段PQ恰好把△ABC的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分?若存在求出此時(shí)t的值;若不存在,說(shuō)明理由。
(4)如圖2,連結(jié)PC,并把△PQC沿AC翻折,得到四邊形PQP'C,那么是否存在某一時(shí)刻t,使四邊形PQP'C為菱形?若存在求出此時(shí)t的值;若不存在,說(shuō)明理由。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖, 拋物線與軸交于點(diǎn)A(-1,0),頂點(diǎn)坐標(biāo)(1,n)與軸的交點(diǎn)在(0,2),(0,3)之間(包 含端點(diǎn)),則下列結(jié)論:①;②;③對(duì)于任意實(shí)數(shù)m,總成立;④關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為
A. 1 個(gè) B. 2 個(gè) C. 3 個(gè) D. 4 個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù) y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖,有下列 5 個(gè)結(jié)論:①4a+2b+c>0;②abc<0;③b<a+c;④3b>2c;⑤a+b<m(am+b),(m≠1 的實(shí)數(shù));其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為( )
A. 2 個(gè) B. 3 個(gè) C. 4 個(gè) D. 5 個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】將圖中的A型、B型、C型矩形紙片分別放在3個(gè)盒子中,盒子的形狀、大小、質(zhì)地都相同,再將這3個(gè)盒子裝入一只不透明的袋子中.
(1)攪勻后從中摸出1個(gè)盒子,求摸出的盒子中是型矩形紙片的概率;
(2)攪勻后先從中摸出1個(gè)盒子(不放回),再?gòu)挠嘞碌膬蓚(gè)盒子中摸出一個(gè)盒子,求2次摸出的盒子的紙片能拼成一個(gè)新矩形的概率(不重疊無(wú)縫隙拼接).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】小明和小亮玩一個(gè)游戲:三張大小、質(zhì)地都相同的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字2,3,4(背面完全相同),現(xiàn)將標(biāo)有數(shù)字的一面朝下.小明從中任意抽取一張,記下數(shù)字后放回洗勻,然后小亮從中任意抽取一張,計(jì)算小明和小亮抽得的兩個(gè)數(shù)字之和.若和為奇數(shù),則小明勝;若和為偶數(shù),則小亮勝.
(1)請(qǐng)你用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法,求出這兩數(shù)和為6的概率.
(2)你認(rèn)為這個(gè)游戲規(guī)則對(duì)雙方公平嗎?說(shuō)說(shuō)你的理由.
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