Question

3．如圖所示，CD為⊙O的直徑，AD、AB、BC分別與⊙O相切于點D、E、C（AD＜BC）．連接DE并延長與直線BC相交于點P，連接OB．
（1）求證：BC=BP；
（2）若DE•OB=40，求AD•BC的值；
（3）在（2）條件下，若S_△ADE：S_△PBE=16：25，求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

分析 （1）由于點O是CD的中點，所以要證BC=BP，只要證明OB∥DP即可；
（2）由DE•OB=40可以想到比例式，由題意可以證明△DEC∽△OCB，由此得DE•OB=OC•DC=40，則OC=2$\sqrt{5}$，再證△ADO∽△OCB即可；
（3）易證△ADE∽△BPE，根據(jù)面積的比等于相似比的平方得$\frac{S△ADE}{S△PBE}$=$\frac{A{D}^{2}}{B{P}^{2}}$=$\frac{16}{25}$，則BC=5，又四邊形ABCD是梯形，按其面積公式即可求解．

解答 解：（1）證明：連接OE，如下圖①，
∵BC、AB分別與⊙O相切于點C、E，
∴∠OCB=∠OEB=90°，
在Rt△OCB與Rt△OEB中，
    $\left\{\begin{array}{l}{OC=OE（同圓的半徑相等）}\\{OB=OB（公共邊相等）}\end{array}\right.$
Rt△OCB≌Rt△OEB（HL）
∴∠COB=∠EOB
∵同弧所對的圓周角是其所對的圓心角的一半，
∴∠COB=$\frac{1}{2}$∠COE=∠CDP，
∴DP∥OB，
又點O是CD的中點，
∴OB是△CDP的中位線，
∴BC=BP
  
                         圖①
（2）連接OA、OE、CE，如下圖②所示
圖②
∵CD是⊙O的直徑，
∴∠DEC=90°，
又BC與⊙O相切于點C，
∴∠DEC=∠OCB=90°，
又∠4=∠6
∴△DEC∽△OCB，
∴$\frac{DE}{OC}=\frac{DC}{OB}$
∴DE•OB=OC•DC=40
∴DC=2OC
OC²=20，OC=2$\sqrt{5}$，
∵又∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠1+∠4=90°，
又∠1+∠5=90°，
∴∠4=∠5
∴△ADO∽△OCB
∴$\frac{AD}{OC}=\frac{OD}{BC}$
∴AD•BC=OC•OD=OC²=20
即：AD•BC=20
（3）∵AD、BC分別與⊙O相切于點D、C，如圖②所示，
∴CD⊥AD，CD⊥PC，
∴AD∥PB
∴△ADE∽△BPE
∴$\frac{S△ADE}{S△PBE}$=$\frac{A{D}^{2}}{B{P}^{2}}$=$\frac{16}{25}$，
∴$\frac{AD}{BC}=\frac{AD}{BP}=\frac{4}{5}$，
       即：AD=$\frac{4}{5}$BC=$\frac{4}{5}$BP
      又∵AD•BC=20
∴BC²=25
    即：BC=5
∴S四邊形ABCD=$\frac{1}{2}$（AD+BC）•2OC
=OC（AD+BP）
=2$\sqrt{5}$•$\frac{9}{5}$BC
=2$\sqrt{5}$×$\frac{9}{5}$×5
=18$\sqrt{5}$
即：四邊形ABCD的面積為18$\sqrt{5}$

點評 本題考查了圓的切線的性質(zhì)、相似的性質(zhì)與判定等知識點，本題的難點是相似的判定與性質(zhì)的應(yīng)用，這也是解（2）、（3）兩個小題的關(guān)鍵．