Question

【題目】如圖，在等腰直角三角形MNC中．CN=MN= ，將△MNC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△ABC，連接AM，BM，BM交AC于點(diǎn)O．
（1）∠NCO的度數(shù)為；
（2）求證：△CAM為等邊三角形；
（3）連接AN，求線段AN的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）15°
（2）證明：∵∠ACM=60°，CM=CA，

∴△CAM為等邊三角形

（3）解：連接AN并延長(zhǎng)，交CM于D，

∵△MNC是等腰直角三角形，△ACM是等邊三角形，

∴NC=NM= ，CM=2，AC=AM=2，

在△ACN和△AMN中，

，

∴△ACN≌△AMN（SSS），

∴∠CAN=∠MAN，

∴AD⊥CM，CD= CM=1，

∴Rt△ACD中，AD= CD= ，

等腰Rt△MNC中，DN= CM=1，

∴AN=AD﹣ND= ﹣1．

【解析】（1）由旋轉(zhuǎn)可得∠ACM=60°，再根據(jù)等腰直角三角形MNC中，∠MCN=45°，運(yùn)用角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可得到∠NCO的度數(shù)；（2）根據(jù)有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形進(jìn)行證明即可；（3）根據(jù)△MNC是等腰直角三角形，△ACM是等邊三角形，判定△ACN≌△AMN，再根據(jù)Rt△ACD中，AD= CD= ，等腰Rt△MNC中，DN= CM=1，即可得到AN=AD﹣ND= ﹣1．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解等腰直角三角形的相關(guān)知識(shí)，掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45°，以及對(duì)等邊三角形的判定的理解，了解三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形．