Question

【題目】如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角三角形的直角邊BC在x軸正半軸上滑動，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（t，0），直角邊AC=4，經(jīng)過O，C兩點(diǎn)做拋物線y1=ax（x﹣t）（a為常數(shù)，a＞0），該拋物線與斜邊AB交于點(diǎn)E，直線OA：y2=kx（k為常數(shù)，k＞0）

（1）填空：用含t的代數(shù)式表示點(diǎn)A的坐標(biāo)及k的值：A ， k=；
（2）隨著三角板的滑動，當(dāng)a= 時(shí)：
①請你驗(yàn)證：拋物線y1=ax（x﹣t）的頂點(diǎn)在函數(shù)y= 的圖象上；
②當(dāng)三角板滑至點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，求t的值；
（3）直線OA與拋物線的另一個交點(diǎn)為點(diǎn)D，當(dāng)t≤x≤t+4，|y2﹣y1|的值隨x的增大而減小，當(dāng)x≥t+4時(shí)，|y2﹣y1|的值隨x的增大而增大，求a與t的關(guān)系式及t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）（t，4）；
（k＞0）
（2）

解：①當(dāng)a= 時(shí)，y1= x（x﹣t），其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（ ，﹣ ）．

對于y= 來說，當(dāng)x= 時(shí)，y=- × =﹣ ，即點(diǎn)（ ，﹣ ）在拋物線y= 上．

故當(dāng)a= 時(shí)，拋物線y1=ax（x﹣t）的頂點(diǎn)在函數(shù)y= 的圖象上；

②如圖1，過點(diǎn)E作EK⊥x軸于點(diǎn)K．

∵AC⊥x軸，

∴AC∥EK．

∵點(diǎn)E是線段AB的中點(diǎn)，

∴K為BC的中點(diǎn)，

∴EK是△ACB的中位線，

∴EK= AC=2，CK= BC=2，

∴E（t+2，2）．

∵點(diǎn)E在拋物線y1= x（x﹣t）上，

∴ （t+2）（t+2﹣t）=2，

解得t=2．

（3）

解：如圖2， ，則 x=ax（x﹣t），

解得x= +t，或x=0（不合題意，舍去）．

故點(diǎn)D的橫坐標(biāo)是 +t．

當(dāng)x= +t時(shí)，|y2﹣y1|=0，由題意得t+4= +t，

∴at=1．

∵y2﹣y1= x﹣ax（x﹣t）=﹣ax2+（at+ ）x=﹣a[x2﹣（t+ ）x+（ + ）2]+a（ + ）2

=﹣a[x﹣（ + ）]2+a（ + ）2

∴當(dāng)x= + 時(shí)，y2﹣y1取得最大值，

又∵當(dāng)x= +t時(shí)，|y2﹣y1|=0，

∴當(dāng) + ≤x≤ +t時(shí)，|y2﹣y1|隨x的增大而減小；當(dāng)x≥ +t時(shí)，|y2﹣y1|隨x的增大而增大．

根據(jù)題意需要滿足當(dāng)t≤x≤t+4，|y2﹣y1|的值隨x的增大而減小，當(dāng)x≥t+4時(shí)，|y2﹣y1|的值隨x的增大而增大，

∴t≥ + 可滿足條件，

∵at=1，

∴解得t≥4．

綜上所述，a與t的關(guān)系式及t的取值范圍為at=1（t≥4）．

【解析】 解：（1）∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（t，0），直角邊AC=4，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是（t，4）．又∵直線OA：y2=kx（k為常數(shù)，k＞0），∴4=kt，則k= （k＞0）．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．