【題目】定義:如圖1,對于直線同側的兩點,若在上的點滿足,則稱、兩點在上的反射點,的和稱為兩點的反射距離.

1)如圖2,在邊長為2的正方形中,的中點,、兩點在直線上的反射點,求、兩點的反射距離;

2)如圖3,內接于,直徑4,,點為劣弧上一動點,點、兩點在上的反射點,當、兩點的反射距離最大時,求劣弧的長;

3)如圖4,在平面直角坐標系中,拋物線軸正半軸交于點,頂點為,若點為點上的反射點,同時點為點、上的反射點.

①請判斷線段的位置關系,并給出證明;

②求、兩點的反射距離與、兩點的反射距離的比值.

【答案】1;(2;(3)①,證明見解析;②

【解析】

1)延長的延長線于點,根據(jù)題意得出,結合公共邊和直角相等證明,然后進一步根據(jù)勾股定理求解即可;

2)作點關于的對稱點,由此得出,進一步證明、三點共線,然后利用當經(jīng)過圓心時,反射距離最大進一步求解即可;

(3)①根據(jù)題意得出點AB的坐標,延長軸于點,作延長線于點,根據(jù)三角形內角和定理進一步求出∠CHD是直角,由此證明結論即可;②根據(jù)題意先后證明,利用全等三角形性質得出點COB中點,根據(jù)勾股定理求出BM,然后過C點作于點G,進一步通過證明得出,利用相似三角形性質求出ON,再根據(jù)勾股定理求出AN,據(jù)此進一步求解即可.

1)如圖,延長的延長線于點

,,

又∵,

,

,

;

2)如圖,作點關于的對稱點

,

,

又∵,

,

、三點共線,

∴當經(jīng)過圓心時,反射距離最大.

此時點與點重合,求得:,

∴劣弧

3)①如圖延長軸于點,作延長線于點

由題可得:,

∴∠1=45°,

設∠ACB=DCO=,∠CDO=BDA=,

,∠1=45°,

,,

,

②∵,

,

∵點B為拋物線頂點,

B點在OA的垂直平分線上,

OB=AB

∵∠1=45°,

∴∠ABC=90°,

在△BOM與△ABC中,

,OB=BA,∠BOM=CBA

∴△BOMABC,

,

∵∠1=45°,

∴∠MOD=1=45°,

∵∠MDO=BDA,∠BDA=CDO,

∴∠MDO=CDO

在△CDO與△MDO中,

∵∠1=MODOD=OD,∠MDO=CDO,

∴△CDOMDO

,

的中點,

C點作于點G,則,,

,

CGOA,

∴△NGC~NOA

,

,

.

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