Question

【題目】綜合與實(shí)踐

（1）（探索發(fā)現(xiàn)）在中. ，，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合），過點(diǎn)作交直線于點(diǎn)，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接．

如圖（1），當(dāng)點(diǎn)在線段上，且時(shí)，試猜想：

①與之間的數(shù)量關(guān)系：______；

②______．

（2）（拓展探究）

如圖（2），當(dāng)點(diǎn)在線段上，且時(shí)，判斷與之間的數(shù)量關(guān)系及的度數(shù)，請(qǐng)說明理由．

（3）（解決問題）

如圖（3），在中，，，，點(diǎn)在射線上，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接．當(dāng)時(shí)，直接寫出的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2），．理由見解析；（3）的長(zhǎng)為1或2．

【解析】

（1）由“SAS”△ADF≌△EDB，可得AF=BE，再利用“8字型”字母∠OBE=∠ADO=90°即可解決問題；

（2）結(jié)論：AF=BF，∠ABE=a．由“SAS”△ADF≌△EDB，即可解決問題；

（3）分當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上和當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上兩種情形討論，利用平行線分線段成比例可求解．

解：

（1）如圖1中，設(shè)AB交DE于O．

∵∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠ABC=45°，

∵DF∥AC，

∴∠FDB=∠C=90°，

∴∠DFB=∠DBF=45°，

∴DF=DB，

∵∠ADE=∠FDB=90°，

∴∠ADF=∠EDB，且DA=DE，DF=DB

∴△ADF≌△EDB（SAS），

∴AF=BE，∠DAF=∠E，

∵∠AOD=∠EOB，

∴∠ABE=∠ADO=90°

故答案為AF=BE，90°．

（2），.

理由：∵，

∴，.

∵，

∴.∴.

∴

∵，，，

∴.

又∵，

∴.

∴，.

∴，，

∴.

（3）1或2.

解：當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，過點(diǎn)作交直線于點(diǎn)，如圖（1）.

∵，∴.

∵，∴.

∵，∴，.

∵，，

∴.

∵，∴.∴.∴.

又，∴，.

當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，如圖（2）.

∵，

∴.

∴.

∴.

同理可得.

綜上可得，的長(zhǎng)為1或2.