【題目】已知二次函數(shù)yax2+bx+ca0)的圖象經(jīng)過點A1,2).

1)當(dāng)b1c=﹣4時,求該二次函數(shù)的表達式;

2)已知點Mt1,5),Nt+1,5)在該二次函數(shù)的圖象上,請直接寫出t的取值范圍;

3)當(dāng)a1時,若該二次函數(shù)的圖象與直線y3x1交于點PQ,將此拋物線在直線PQ下方的部分圖象記為C,

①試判斷此拋物線的頂點是否一定在圖象C上?若是,請證明;若不是,請舉反例;

②已知點P關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為P′,若P′在圖象C上,求b的取值范圍.

【答案】1y5x2+x4;(20t2;(3)①不是,反例見解析;②b4b<﹣2

【解析】

1)將點A的坐標(biāo)和bc的值代入yax2+bx+c中便可求得a的值,問題便可解決;

2)由點M,N的坐標(biāo)推出該二次函數(shù)的對稱軸是直線xt,結(jié)合拋物線 a0)開口向上推出點M,N分別落在點A12)的左側(cè)和右側(cè),由此可列出關(guān)于t的不等式組,解此不等式組即可;

3)①如舉反例拋物線yx2+1與直線y3x1,判斷它們有兩個交點(即聯(lián)立方程組有兩組不同的解),并求出拋物線頂點坐標(biāo)不在直線y3x1之下便可;

②要使點P關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為P′在圖象C上,則二次函數(shù)yax2+bx+ca0)圖象的頂點必在C上,則當(dāng)x=﹣時,ax2+bx+c3x1,得到一個關(guān)于a、b、c的不等式,把a1,A12)代入yax2+bx+ca0)中,用b表示c,再把a1c代入前面得到的關(guān)于ab、c的不等式中,便可求得b的取值范圍.

解:(1)把點A1,2).b1c=﹣4代入二次函數(shù)yax2+bx+ca0),

得:2a+14

a5,b1,c=﹣4,

∴二次函數(shù)的表達式為y5x2+x4;

2)∵點Mt15),Nt+1,5)在該二次函數(shù)的圖象上,

∴該二次函數(shù)的對稱軸是直線xt,

∵拋物線 a0)開口向上,A1,2),M,N 在該二次函數(shù)圖象上,且52,

∴由二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)得,點M,N分別落在點A的左側(cè)和右側(cè),

t11t+1,

t的取值范圍是0t2

3)①不是.反例如下:

若拋物線的解析式為yx2+1,則

y3x1代入上式,得x2+13x1,

整理得,x23x+20,

∵△=980,

∴方程x23x+20有兩個不相等的實數(shù)根,

則拋物線yx2+1與直線y3x1有兩個交點,

yx2+1的頂點為(01

當(dāng)x0時,y3x1=﹣11,

∴拋物線yx2+1的頂點在直線y3x1的上方,

∴此拋物線的頂點不在圖象C上.

②∵點P關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為P′,且P′在圖象C上,

∴當(dāng)a1時,該二次函數(shù)yax2+bx+ca0)的圖象的頂點在直線y3x1下方,

∴當(dāng)x=﹣時,x2+bx+c3x1,

A1,2)代入yx2+bx+c中,得1+b+c2,故c1b,

,

整理得b22b8

∴(b129,

b13b1<﹣3

b4b<﹣2

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公交車用時的頻數(shù)

公交車用時線路

合計

59

151

166

124

500

50

50

122

278

500

45

265

160

30

500

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