Question

【題目】如圖，△ABC為等腰三角形，AC=BC，以邊BC為直徑的半圓與邊AB，AC分別交于D，E兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC，垂足為點(diǎn)F

（1）判斷DF與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（2）若DF=3，EF=1，求弦EC的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）DF與⊙O相切；（2）8.

【解析】（1）連接OD，證明OD∥AC，即可證得∠ODF=∠AFD=90°，從而證得OD是圓的切線；

(2) （2）過(guò)O作OG⊥EC交EC于點(diǎn)G,先證明四邊形ODFG是矩形，可得：OG=3，連接OE，設(shè)半徑為r，則OD=FG=OE=r, EG=r-1,由OG⊥EC可得：，即，解得r=5,從而求得EC=8.

（1）DF與⊙O相切．

連接OD．

∵AC=BC，OB=OD，

∴∠B=∠A，∠B=∠1．

∴∠A=∠1．

∴OD∥AC．

∵DF⊥AC，

∴∠AFD=90°．

∴∠ODF=∠AFD=90°．

又∵OD是⊙O的半徑，

∴DF與⊙O相切．

（2）過(guò)O作OG⊥EC交EC于點(diǎn)G．

∵∠ODF=∠AFD=90°，

∴四邊形OGFD是矩形．

∴DF=OG，OD=FG

∵DF=3，

∴OG=3

連接OE，

設(shè)半徑為r，則OD=FG=OE=r

∵EF=1

∴EG=r-1

∵OG⊥EC,

∴

∴

∴r=5

∴EG=4

∵OG⊥EC,

∴EG=CG

∴EC=8.