Question

10．如圖，過矩形ABCD的頂點(diǎn)B作BE∥AC，垂足為E，延長BE交AD于F，若點(diǎn)F是邊AD的中點(diǎn)，則sin∠ACD的值是$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

Answer 1

分析 由矩形的性質(zhì)得出AD∥BC，AD=BC，∠D=90°，證出△AEF∽△CEB，得出對(duì)應(yīng)邊成比例 $\frac{AE}{CE}=\frac{AF}{BC}$=$\frac{1}{2}$，設(shè)AF=DF=a，AE=x，則CE=2x，AC=3x，再證明△AEF∽△ADC，得出 $\frac{AF}{AC}=\frac{AE}{AD}$，得出x=$\frac{\sqrt{6}a}{3}$，AC=$\sqrt{6}$a，再由三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)果．

解答 解：∵點(diǎn)F是邊AD的中點(diǎn)，
∴AF=DF=$\frac{1}{2}$AD，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，∠D=90°，
∴AF=$\frac{1}{2}$BC，△AEF∽△CEB，
∴$\frac{AE}{CE}=\frac{AF}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
設(shè)AF=DF=a，AE=x，則CE=2x，AC=3x，
∵BF⊥AC，
∴∠AEF=∠D=90°，
∵∠EAF=∠DAC，
∴△AEF∽△ADC，
∴$\frac{AF}{AC}=\frac{AE}{AD}$，
即 $\frac{a}{3x}=\frac{x}{2a}$，
解得：x=$\frac{\sqrt{6}a}{3}$，
∴AC=$\sqrt{6}$a，
∴sin∠ACD=$\frac{2a}{\sqrt{6}a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)；熟練掌握矩形的性質(zhì)，證明三角形相似是解決問題的關(guān)鍵．