Question

【題目】如圖，已知是的直徑，是的弦，弦于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，．

求證：是的切線；

當(dāng)點(diǎn)在劣弧上運(yùn)動(dòng)時(shí)，其他條件不變，若．求證：點(diǎn)是的中點(diǎn)；

在滿足的條件下，，，求的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）

【解析】

（1）連OC，由ED⊥AB得到∠FBG+∠FGB=90°，又PC=PD，則∠1=∠2，而∠2=∠FGB，∠4=∠FBG，即可得到∠1+∠4=90°，根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；

（2）連OG，由BG2=BFBO，即BG：BO=BF：BG，根據(jù)三角形相似的判定定理得到△BGO∽△BFG，由其性質(zhì)得到∠OGB=∠BFG=90°，然后根據(jù)垂徑定理即可得到點(diǎn)G是BC的中點(diǎn)；

（3）連OE，由ED⊥AB，根據(jù)垂徑定理得到FE=FD，而AB=10，ED=4，得到EF=2，OE=5，在Rt△OEF中利用勾股定理可計(jì)算出OF，從而得到BF，然后根據(jù)BG2=BFBO即可求出BG．

證明：連，如圖，

∵，

∴，

又∵，

∴，

而，，

∴，即，

∴是的切線；

證明：連，如圖，

∵，即，

而，

∴，

∴，

即，

∴，即點(diǎn)是的中點(diǎn)；解：連，如圖，

∵，

∴，

而，，

∴，，

在中，，

∴，

∵，

∴，

∴．