Question

6．如圖1，將兩根筆直細木板MN、EF用圖釘固定并平行擺放，將一根橡皮筋拉直后用圖釘分別固定在MN、EF上，橡皮筋的兩端點分別記為點A、點B．
（1）圖1中，若∠1=110°，則∠2=70度．（直接寫出結(jié)果，不需說理）
（2）P為橡皮筋上一點，利用橡皮筋的彈性拉動橡皮筋，使A、P、B三點不在同一直線上，然后用圖釘固定點P．
①如圖2，若點P在兩細木棒所在直線之間，且∠1+∠2=90°，試判斷線段AP與BP所在直線的位置關(guān)系，并說明理由；
②如圖3，若點P在兩細木棒所在直線的同側(cè)，且∠1+∠2=90°，∠APB=28°，試求∠1、∠2的度數(shù)．
（3）P₁、P₂為AB上兩點，拉動橡皮筋并固定如圖4，若∠1+∠2=90°，則∠AP₁P₂+∠BP₂P₁=270度．（直接寫出結(jié)果，不需說理）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)MN∥EF即可得出∠1+∠2=180°，結(jié)合∠1=110°即可求出∠2的度數(shù)；
（2）①過點P作PC∥MN，根據(jù)MN∥EF即可得出PC∥MN∥EF，進而得出∠APC=∠1，∠BPC=∠2，再根據(jù)角與角之間的關(guān)系即可得出∠APB=∠1+∠2=90°，由此即可得出AP⊥BP；
②過點P作PD∥MN，同理可得出∠APC=∠1，∠BPC=∠2，根據(jù)角與角之間的關(guān)系即可得出∠APB=∠2-∠1=28°，再結(jié)合∠1+∠2=90°，即可求出∠1、∠2的度數(shù)；
（3）過點P₁作P₁C∥MN，過點P₂作P₂D∥MN，由MN∥EF即可得出P₁C∥MN∥EF∥P₂D，從而可得出∠1=∠AP₁C，∠2=∠BP₂D，∠CP₁P₂+∠DP₂P₁=180°，再根據(jù)角與角之間的關(guān)系即可算出∠AP₁P₂+∠BP₂P₁的度數(shù)．

解答 解：（1）∵MN∥EF，
∴∠1+∠2=180°，
∵∠1=110°，
∴∠2=70°．
故答案為：70．
（2）①AP⊥BP，理由如下：
在圖2中，過點P作PC∥MN，
∵MN∥EF，
∴PC∥MN∥EF，
∴∠APC=∠1，∠BPC=∠2．
∵∠APB=∠APC+∠BPC，∠1+∠2=90°，
∴∠APB=90°，
∴AP⊥BP．
②在圖3中，過點P作PD∥MN，
∵MN∥EF，
∴PD∥MN∥EF，
∴∠DPA=∠1，∠DPB=∠2，
∴∠APB=∠DPB-∠DPA=∠2-∠1=28°．
又∵∠1+∠2=90°，
∴∠1=31°，∠2=59°．
（3）在圖4中，過點P₁作P₁C∥MN，過點P₂作P₂D∥MN，
∵MN∥EF，
∴P₁C∥MN∥EF∥P₂D，
∴∠1=∠AP₁C，∠2=∠BP₂D，∠CP₁P₂+∠DP₂P₁=180°．
又∵∠1+∠2=90°，
∴∠AP₁P₂+∠BP₂P₁=∠AP₁C+∠CP₁P₂+∠BP₂D+∠DP₂P₁=（∠AP₁C+∠BP₂D）+（∠CP₁P₂+∠DP₂P₁）=90°+180°=270°．
故答案為：270．

點評 本題考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）找出∠1+∠2=180°；（2）①求出∠APB=∠1+∠2=90°；②找出∠APB=∠2-∠1=28°；（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)找出∠1=∠AP₁C，∠2=∠BP₂D，∠CP₁P₂+∠DP₂P₁=180°．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)平行線的性質(zhì)找出相等（或）互補的角是關(guān)鍵．