Question

【題目】已知，在矩形ABCD中，連接對角線AC，將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△EFG，并將它沿直線AB向左平移，直線EG與BC交于點H，連接AH，CG．

（1）如圖①，當AB=BC，點F平移到線段BA上時，線段AH，CG有怎樣的數(shù)量關系和位置關系？直接寫出你的猜想；

（2）如圖②，當AB=BC，點F平移到線段BA的延長線上時，（1）中的結(jié)論是否成立，請說明理由；

（3）如圖③，當AB=nBC（n≠1）時，對矩形ABCD進行如已知同樣的變換操作，線段AH，CG有怎樣的數(shù)量關系和位置關系？直接寫出你的猜想．

Answer 1

【答案】(1) AH=CG，AH⊥CG ；(2) 仍然成立，理由詳見解析；(3) AH=nCG，AH⊥CG．理由詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）延長AH與CG交于點T，如圖①，易證BH=BG，從而可證到△ABH≌△CBG，則有AH=CG，∠HAB=∠GCB，從而可證到∠HAB+∠AGC=90°，進而可證到AH⊥CG．

（2）延長CG與AH交于點Q，如圖②，仿照（1）中的證明方法就可解決問題．

（3）延長AH與CG交于點N，如圖③，易證BH∥EF，可得△GBH∽△GFE，則有，也就有，從而可證到△ABH∽△CBG，則有=n，∠HAB=∠GCB，進而可證到AH=nCG，AH⊥CG．

試題解析：（1）AH=CG，AH⊥CG．

證明：延長AH與CG交于點T，如圖①，

由旋轉(zhuǎn)和平移的性質(zhì)可得：EF=AB，F(xiàn)G=BC，∠EFG=∠ABC．

∵四邊形ABCD是矩形，AB=BC，

∴EF=GF，∠EFG=∠ABC=90°．

∴∠CBG=90°，∠EGF=45°．

∴∠BHG=90°﹣45°=45°=∠EGF．

∴BH=BG．

在△ABH和△CBG中，

AB=BC，∠ABH=∠CBG，BH=BG，

∴△ABH≌△CBG（SAS）．

∴AH=CG，∠HAB=∠GCB．

∴∠HAB+∠AGC=∠GCB+∠AGC=90°．

∴∠ATC=90°．

∴AH⊥CG．

（2）（1）中的結(jié)論仍然成立．

證明：延長CG與AH交于點Q，如圖②，

由旋轉(zhuǎn)和平移的性質(zhì)可得：EF=AB，F(xiàn)G=BC，∠EFG=∠ABC．

∵四邊形ABCD是矩形，AB=BC，

∴EF=GF，∠EFG=∠ABC=90°．

∴∠ABH=90°，∠EGF=45°．

∴∠BGH=∠EGF=45°．

∴∠BHG=90°﹣45°=45°=∠BGH．

∴BH=BG．

在△ABH和△CBG中，

AB=BC，∠ABH=∠CBG，BH=BG，

∴△ABH≌△CBG（SAS）．

∴AH=CG，∠HAB=∠GCB．

∴∠GCB+∠CHA=∠HAB+∠CHA=90°．

∴∠CQA=90°．

∴CG⊥AH．

（3）AH=nCG，AH⊥CG．理由如下：

延長AH與CG交于點N，如圖③，

由旋轉(zhuǎn)和平移的性質(zhì)可得：EF=AB，F(xiàn)G=BC，∠EFG=∠ABC．

∵四邊形ABCD是矩形，AB=nBC，

∴EF=nGF，∠EFG=∠ABC=90°．

∴∠EFG+∠ABC=180°．

∴BH∥EF．

∴△GBH∽△GFE．

∴．

∵，

∴．

∵∠ABH=∠CBG，

∴△ABH∽△CBG．

∴=n，∠HAB=∠GCB．

∴AH=nCG，∠HAB+∠AGC=∠GCB+∠AGC=90°．

∴∠ANC=90°．

∴AH⊥CG．