Question

17．在⊙O中，直徑AB⊥CD于點E，連接CO并延長交AD于點F，且CF⊥AD．
（1）求∠D的度數(shù)．
（2）若OE=1cm，求劣弧BD的長．

Answer 1

分析 （1）由垂徑定理得出CE=DE，AF=DF，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出AC=AD，AC=CD，得出AC=AD=CD，即可得出結(jié)論；
（2）由等邊三角形的性質(zhì)得出∠DCF=30°，由直角三角形的性質(zhì)求出OC=2OE=2cm，由圓周角定理得出∠BOD=2∠BAD=60°，再由弧長公式即可得出結(jié)果．

解答 解：（1）連接AC，如圖1所示：
∵直徑AB⊥CD于點E，連接CO并延長交AD于點F，且CF⊥AD，
∴CE=DE，AF=DF，
∴AC=AD，AC=CD，
∴AC=AD=CD，△ACD是等邊三角形，
∴△ACD是等邊三角形，
∴∠D=∠CAD=60°；
（2）連接OD，如圖2所示：
∵CF⊥AD，∠D=60°，
∴∠DCF=90°-60°=30°，
∴OC=2OE=2cm，
∵△ACD是等邊三角形，AE⊥CD，
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠CAD=30°，
∴∠BOD=2∠BAD=60°，
∴劣弧BD的長=$\frac{60π×2}{180}$=$\frac{2}{3}$π（cm）．

點評 本題考查了垂徑定理、圓周角定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及弧長公式；熟練掌握垂徑定理是解決問題的關(guān)鍵．