Question

19．如圖，點A₁，A₂，A₃…，A_n，A_n+1和B₁，B₂，B₃…，B_n分別為射線ON，OM上的點，B₁A₁⊥ON，B₂A₂⊥ON，…，B_nA_n⊥ON，△A₁B₁A₂，△A₂B₂A₃，△A₃B₃A₄…，△A_nB_nA_n+1都是等腰直角三角形，若0A₁=3，A₁B₁=1，則A_nB_n=（$\frac{4}{3}$）^n-1（用含n的代數(shù)式表示）．

Answer 1

分析 由等腰三角形性質(zhì)知A₁A₂=A₁B₁=1，根據(jù)B₁A₁⊥ON、B₂A₂⊥ON知△OA₁B₁∽△OA₂B₂，從而可得$\frac{O{A}_{1}}{O{A}_{2}}$=$\frac{{A}_{1}{B}_{1}}{{A}_{2}{B}_{2}}$，求得A₂B₂的值，同理再求出A₃B₃的值，根據(jù)規(guī)律可得答案．

解答 解：∵△A₁B₁A₂為等腰直角三角形，A₁B₁=1，
∴A₁A₂=A₁B₁=1，
∵B₁A₁⊥ON，B₂A₂⊥ON，
∴△OA₁B₁∽△OA₂B₂，
∴$\frac{O{A}_{1}}{O{A}_{2}}$=$\frac{{A}_{1}{B}_{1}}{{A}_{2}{B}_{2}}$，即$\frac{3}{3+1}$=$\frac{1}{{A}_{2}{B}_{2}}$，
解得：A₂B₂=$\frac{4}{3}$，
同理，△OA₁B₁∽△OA₃B₃，
∴$\frac{O{A}_{1}}{O{A}_{3}}$=$\frac{{A}_{1}{B}_{1}}{{A}_{3}{B}_{3}}$，即$\frac{3}{3+1+\frac{4}{3}}$=$\frac{1}{{A}_{3}{B}_{3}}$，
解得：A₃B₃=$\frac{16}{9}$=（$\frac{4}{3}$）²，
據(jù)此規(guī)律可得，A_nB_n=（$\frac{4}{3}$）^n-1，
故答案為：（$\frac{4}{3}$）^n-1．

點評 本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)及數(shù)字的變換規(guī)律，利用相似三角形的性質(zhì)求得A₁B₁、A₂B₂的值是解題的關(guān)鍵．