Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax22a2x(a0)的對稱軸與x軸交于點P．

（1）求點P的坐標（用含a的代數(shù)式表示）；

（2）記函數(shù)y=x+2(1x2)的圖象為圖形M，若拋物線與圖形M恰有一個公共點，結(jié)合函數(shù)的圖象，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（a，0）；（2）a≤或a＞0

【解析】

（1）令y＝0，求得拋物線與x軸的兩個交點坐標，進而求得點P坐標；

（2）根據(jù)拋物線與圖形M恰有一個公共點，結(jié)合圖像可知當(dāng)x＝－1或當(dāng)x＝2時，這兩個函數(shù)值的大小關(guān)系恰好相反，然后通過解不等式組即可求得a的取值范圍．

解：（1）y＝ax22a2x＝ax(x2a)

令y＝0，則x1＝0，x2＝2a，

∴對稱軸為x＝，

∴點P的坐標為（a，0）

（2）設(shè)y1＝ax22a2x，y2＝x＋2(1x2)

∴當(dāng)x＝－1時，y1＝a＋2a2，y2＝3，

當(dāng)x＝2時，y1＝4a－4a2，y2＝0，

∵拋物線與圖形M恰有一個公共點，

∴拋物線與圖形M如圖所示：

∴當(dāng)a＋2a2≥3時，4a－4a2≤0，

則2a2＋a－3≥0，4a2－4a≥0，

∴(2a＋3)(a－1)≥0①，4a(a－1)≥0②，

∴由①得，a≥1或a≤，

由②得，a≥1或a≤0，

∴a≥1或a≤，

當(dāng)a＋2a2≤3時，4a－4a2≥0，

則2a2＋a－3≤0，4a2－4a≤0，

∴(2a＋3)(a－1)≤0①，4a(a－1)≤0②，

∴由①得，≤a≤1，

由②得，0≤a≤1，

∴0≤a≤1，

∴a≤或a≥0，

又∵a≠0，

∴a的取值范圍是：a≤或a＞0．