Question

6．如圖，點O是邊長為4$\sqrt{3}$的等邊△ABC的內(nèi)心，將△OBC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)30°得到△OB₁C₁，B₁C₁交BC于點D，B₁C₁交AC于點E，則DE=6-2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 令OB₁與BC的交點為F，B₁C₁與AC的交點為M，過點F作FN⊥OB于點N，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)以及內(nèi)心的性質(zhì)找出△FOB為等腰三角形，并且△BFO∽△B₁FD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)找出B₁D的長度，再通過找全等三角形以及解直角三角形求出C₁E的長度，由此即可得出DE的長度．

解答 解：令OB₁與BC的交點為F，B₁C₁與AC的交點為M，過點F作FN⊥OB于點N，如圖所示．
∵將△OBC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)30°得到△OB₁C₁，
∴∠BOF=30°，
∵點O是邊長為4$\sqrt{3}$的等邊△ABC的內(nèi)心，
∴∠OBF=30°，OB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AB=4，
∴△FOB為等腰三角形，BN=$\frac{1}{2}$OB=2，
∴BF=$\frac{BN}{cos∠OBF}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$=OF．
∵∠OBF=∠OB₁D，∠BFO=∠B₁FD，
∴△BFO∽△B₁FD，
∴$\frac{{B}_{1}D}{OB}=\frac{{B}_{1}F}{BF}$．
∵B₁F=OB₁-OF=4-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴B₁D=4$\sqrt{3}$-4．
在△BFO和△CMO中，有$\left\{\begin{array}{l}{∠OBF=∠OCM}\\{OB=OC}\\{∠BOF=COM}\end{array}\right.$，
∴△BFO≌△CMO（ASA），
∴OM=BF=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，C₁M=4-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
在△C₁ME中，∠C₁ME=∠MOC+∠MCO=60°，∠C₁=30°，
∴∠C₁EM=90°，
∴C₁E=C₁M•sin∠C₁ME=（4-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$-2．
∴DE=B₁C₁-B₁D-C₁E=4$\sqrt{3}$-（4$\sqrt{3}$-4）-（2$\sqrt{3}$-2）=6-2$\sqrt{3}$．
故答案為：6-2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)心的性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)以及解直角三角形，解題的關(guān)鍵是求出線段B₁D、C₁E的長度．本題屬于中檔題，難度不小，解決該題型題目時，用到了相似三角形和全等三角形的判定及性質(zhì)，因此找出相等的邊角關(guān)系是關(guān)鍵．