Question

11．如圖，在正方形ABCD中，E、F是對(duì)角線BD上兩點(diǎn)，且∠EAF=45°，將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，得到△ABQ，連接EQ，求證：
（1）EA是∠QED的平分線；
（2）EF²=BE²+DF²．

Answer 1

分析 （1）直接利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出△AQE≌△AFE（SAS），進(jìn)而得出∠AEQ=∠AEF，即可得出答案；
（2）利用（1）中所求，再結(jié)合勾股定理得出答案．

解答 證明：（1）∵將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，得到△ABQ，
∴QB=DF，AQ=AF，∠BAQ=∠DAF，
∵∠EAF=45°，
∴∠DAF+∠BAE=45°，
∴∠QAE=45°，
∴∠QAE=∠FAE，
在△AQE和△AFE中
$\left\{\begin{array}{l}{AQ=AF}\\{∠QAE=∠FAE}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△AQE≌△AFE（SAS），
∴∠AEQ=∠AEF，
∴EA是∠QED的平分線；

（2）由（1）得△AQE≌△AFE，
∴QE=EF，
在Rt△QBE中，
QB²+BE²=QE²，
則EF²=BE²+DF²．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理等知識(shí)，正確得出△AQE≌△AFE（SAS）是解題關(guān)鍵．