Question

【題目】關(guān)于x的二次函數(shù)y=2sinx2-(4sin+)x-sin+，其中為銳角，則：①當(dāng)a為30°時(shí)，函數(shù)有最小值﹣；②函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸可能有三個(gè)交點(diǎn)，并且當(dāng)a為45°時(shí)，連接這三個(gè)交點(diǎn)所圍成的三角形面積小于1；③當(dāng)a＜60°時(shí)，函數(shù)在x＞1時(shí)，y隨x的增大而增大；④無(wú)論銳角a怎么變化，函數(shù)圖象必過(guò)定點(diǎn)．其中正確的結(jié)論有（ ）

A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ②③④

Answer 1

【答案】C

【解析】

①由于2sin＞0，所以函數(shù)一定有最小值，將a的值代入拋物線的解析式中，將解析式寫(xiě)成頂點(diǎn)式可得函數(shù)的最小值．

②令y=0，在所得方程中若根的判別式大于0，那么拋物線的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)可能有三個(gè)：與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，與y軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，拋物線的圖象與坐標(biāo)軸只有兩個(gè)交點(diǎn)．首先將a的值代入解析式，先設(shè)拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)為x1、x2，那么這兩點(diǎn)間的距離可表示為|x1-x2|=，以這條線段為底，拋物線與y軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對(duì)值為高即可得到三交點(diǎn)圍成的三角形的面積值，然后判斷是否小于1即可．

③由①知，拋物線的開(kāi)口向上，所以一定有最小值；首先求出拋物線的對(duì)稱軸方程，若x=1在拋物線對(duì)稱軸右側(cè)，那么y隨x的增大而增大；若x=1在拋物線對(duì)稱軸的左側(cè)，那么隨x的增大，y值先減小后增大．

④圖象若過(guò)定點(diǎn)，那么函數(shù)值就不能受到變量sina的影響，所以先將所有含sina的項(xiàng)拿出來(lái)，然后令sina的系數(shù)為0，可據(jù)此求出x的值，將x的值代入拋物線的解析式中，即可得到這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)．

解：①當(dāng)a=30°時(shí)，sina=，二次函數(shù)解析式可寫(xiě)作：y=x2-x=（x-）2-；

所以當(dāng)a為30°時(shí)，函數(shù)的最小值為-；故①正確．

②令y=0，則有：2sinax2-（4sina+）x-sina+=0，

△=（4sina+）2-4·2sina·（-sina+）=24sin2a+＞0，

所以拋物線與x軸一定有兩個(gè)交點(diǎn)，再加上拋物線與y軸的交點(diǎn)，即與坐標(biāo)軸可能有三個(gè)交點(diǎn)（當(dāng)圖象過(guò)原點(diǎn)時(shí)，只有兩個(gè)交點(diǎn)）；

設(shè)拋物線與x軸的交點(diǎn)為（x1，0）、（x2，0）；

當(dāng)a=45°時(shí)，sina=，得：y=x2-（2+）x-，則：

三角形的面積 S===≈0.3＜1

故②正確．

③∵2sina＞0，且對(duì)稱軸x==1+＞1，

∴x=1在拋物線對(duì)稱軸的左側(cè)，因此 x＞1時(shí)，y隨x的增大先減小后增大；

故③錯(cuò)誤．

④y=2sinax2-（4sina+12）x-sina+=sina（2x2-4x-1）-x+；

當(dāng)2x2-4x-1=0，即 x=1±時(shí)，拋物線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，且坐標(biāo)為：（1+，-）、（1-，）；

故④正確．

綜上，正確的選項(xiàng)是①②④

故本題答案選C．