Question

【題目】已知△ABC中，∠BCA=90°，BC=AC，D是BA邊上一點(diǎn)（點(diǎn)D不與A，B重合），M是CA中點(diǎn)，當(dāng)以CD為直徑的⊙O與BA邊交于點(diǎn)N，⊙O與射線NM交于點(diǎn)E，連接CE，DE．
（1）求證：BN=AN；
（2）猜想線段CD與DE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵CD為⊙O的直徑，

∴∠CND=90°，

∴CN⊥AB，

∵BC=AC，

∴BN=AN；

（2）解：CD= DE，

理由如下：∵△ABC中，∠BCA=90°，BN=AN，

∴CN=AN，

∵點(diǎn)M是CA中點(diǎn)，

∴NM平分∠CNA，

∵∠CNA=90°，

∴∠CNM=45°，

∴∠CDE=∠CNE=45°，

∵CD為⊙O的直徑，

∴∠CED=90°，

∴∠DCE=45°=∠CDE，

∴DE=CE，

∵CE2+DE2=CD2，

∴CD= DE

【解析】（1）根據(jù)圓周角定理求出∠CND=90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出即可；（2）根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)求出CN=AN，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出∠CNM=45°，根據(jù)圓周角定理求出∠CED=90°，∠CDE=∠CNE=45°，根據(jù)勾股定理求出即可．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形斜邊上的中線的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角）；直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半才能正確解答此題．