Question

19．如圖CO是等腰△ABC底邊AB上的高，AB=6，點P從點C出后沿CO以ka個單位/秒的速度到達點G，再沿GA以a個單位/秒的速度到達點A．
（1）當CO=3$\sqrt{3}$，CG=2$\sqrt{3}$時，點P的運動距離=4$\sqrt{3}$．
（2）當CO=3$\sqrt{3}$且滿足k=2，a=1時，求運動時間t的最小值．
（3）當CO=6，其余條件不變時，取K=$\sqrt{5}$時，存在最短運動時間，此時OG的長=$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出AO的長，利用勾股定理求AG，則CG與AG的和就是點P的運動距離；
（2）作輔助線構(gòu)建最短距離AH，因為點P在CG與AG的速度不同，因此要構(gòu)建同速度的最短距離AH，滿足k=$\frac{CG}{GH}$=2，求出這時的CG和AG，代入速度計算時間即可；
（3）與（2）同理，作輔助線構(gòu)建最短距離AH，滿足k=$\frac{CG}{GH}$，利用同角三角函數(shù)求出結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1，∵CO=3$\sqrt{3}$，CG=2$\sqrt{3}$，
∴OG=3$\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
∵△ABC是等腰三角形，CO是高，
∴AO=BO=$\frac{1}{2}$AB=3，
由勾股定理得：AG=$\sqrt{{3}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴點P的運動距離=AG+CG=2$\sqrt{3}$+2$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$，
故答案為：4$\sqrt{3}$；
（2）如圖2，過點A作AH⊥BC于點H，交CO于點G，
∵tan∠CAB=$\frac{OC}{AO}$=$\frac{3\sqrt{3}}{3}$=$\sqrt{3}$，
∴∠CAB=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∵CO⊥AB，
∴∠OCB=30°，則GH=$\frac{1}{2}$GC，
最短距離AH=3$\sqrt{3}$，OG=$\sqrt{3}$，CG=2$\sqrt{3}$，AG=2$\sqrt{3}$，
∴t_最小值=$\frac{2\sqrt{3}}{2}$+2$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$；
（3）如圖3，過點A作AH⊥BC于點H，交CO于點G，
∵∠HAB=∠OCB，
tan∠HAB=tan∠OCB=$\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{OG}{AO}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{OG}{3}=\frac{1}{2}$，
∴OG=$\frac{3}{2}$，
則AG=$\sqrt{{3}^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
∴k=$\frac{CG}{GH}=\frac{AG}{OG}$=$\frac{\frac{3\sqrt{5}}{2}}{\frac{3}{2}}$=$\sqrt{5}$，
故答案為：$\sqrt{5}$，$\frac{3}{2}$．

點評 本題是三角形的綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，重點考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)，利用動點問題把行程問題與幾何問題結(jié)合起來；如果求最短時間，速度不同，要化成同速度來求最小值．