Question

7．數學活動：數學活動課上，老師提出如下數學問題：
已知四邊形ABCD與BEFG都為正方形，P為DF的中點，連接AP，EP，如圖1，當點F與點C重合時，求證：AP=PE，AP⊥PE．
獨立思考：請你證明老師提出的問題；
合作交流：解決完上述問題后，“翱翔”小組的同學受此啟發(fā)，把正方形BEFG繞點B逆時針旋轉，當F落在BD上時（如圖2），他們認為老師提出的結論仍然成立．
“翱翔”小組的認識是否正確？請說明理由．
發(fā)現問題：解決完上述問題后，如圖（3），老師將正方形BEFG在圖1的基礎上繞點B旋轉角度α（0°＜α＜360°），讓同學們寫出有關△APE的正確結論．“興趣”小組的同學們寫出了兩個正確結論：①△APE為等腰直角三角形；②△APE的面積存在最小值．
學習任務：
①若BE=1，AB=$\sqrt{2}$，請你寫出△APE面積的最小值為$\frac{3-2\sqrt{2}}{4}$（不要求進行說理）；
②請你再寫出一個有關△APE的正確結論：答案不唯一，如：在①的條件下，△APE的面積存在最大值，最大面積為$\frac{3+2\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 獨立思考：做出輔助線得到正方形，再判斷出△ADP≌△PHE，即可；
合作交流：先判斷出EH=HC，再判斷出△ADP≌△CDP即可；
發(fā)現問題：①先判斷出點E在邊AB上時，AE最小，最后用等腰直角三角形的面積公式即可；
②先判斷出AE越大，S_△APE要越大，即點E在AB的延長線上時，AE最大，最后用等腰直角三角形的面積公式即可

解答 獨立思考
證明：如圖1，

過點E作EH⊥DC，垂足為H，作EQ⊥BC，垂足為Q．
∵∠QEH=∠EHC=∠QCH=90°，
∴四邊形QEHC為矩形．
又∵EQ=BQ=CQ
∴四邊形QEHC為正方形，
∴EH=CQ=$\frac{1}{2}$BC．
又∵P為CD中點，DP=$\frac{1}{2}$DC；
∴DP=PC=CH=EH．
∴AD=PH．
又∵∠EHP=∠PDA=90°，
∴△ADP≌△PHE．
∴AP=PE，∠EPH=∠PAD．
∵∠PAD+∠APD=90°，
∴∠APD+EPH=90°．
∴AP⊥PE．
合作交流：“翱翔”小組的認識是正確的．
理由如下：如圖2，

過點P作PH⊥BC于點H，并且交AD于點Q，則PQ⊥AD．
∴四邊形QHCD是矩形，HQ∥CD．
連接PE，PC．
∵FE∥PH∥DC，
∴$\frac{FP}{PD}=\frac{EH}{CH}$．
∵FP=PD，
∴EH=HC．
∴PE=PC，∠EPH=∠HPC．
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠ADP=∠CDP=45°．
又∵DP=DP，
∴△ADP≌△CDP．
∴AP=PC，∠PAQ=∠PCD．
∴AP=PE，
又∵∠HPC=∠PCD，
∴∠PAQ=∠EPH．
∵∠PAQ+∠APQ=90°，
∴∠EPH+∠APQ=90°．
∴AP⊥PE．
發(fā)現問題：如圖3，
∵△APE為等腰直角三角形，且AP⊥DE，
∴斜邊AE越小，S_△APE要越小，

∴點E在邊AB上時，AE最小，
∵AB=$\sqrt{2}$，BE=1，
∴AE=AB-BE=$\sqrt{2}$-1
∴S_△APE最小值為$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$AE²=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×（$\sqrt{2}$-1）²=$\frac{3-2\sqrt{2}}{4}$．
故答案為$\frac{3-2\sqrt{2}}{4}$．
②結論不唯一，如：在①的條件下，△APE的面積存在最大值，最大面積為$\frac{3+2\sqrt{2}}{4}$
理由：如圖4，

∵△APE為等腰直角三角形，且AP⊥DE，
∴AE越大，S_△APE要越大，
∴點E在AB的延長線上時，AE最大，
∵AB=$\sqrt{2}$，BE=1，
∴AE=AB+BE=$\sqrt{2}$+1
∴S_△APE最小值為$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$AE²=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×（$\sqrt{2}$+1）²=$\frac{3+2\sqrt{2}}{4}$．
故答案為：答案不唯一，如：在①的條件下，△APE的面積存在最大值，最大面積為$\frac{3+2\sqrt{2}}{4}$．

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質和判定，勾股定理，平行線分線段成比例定理，極值問題，解本題的關鍵是做出輔助線．