Question

已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為，過(guò)正方形的頂點(diǎn)A和對(duì)角線交點(diǎn)O作⊙O′，分別交AB、AD于F、E，⊙O′的半徑為．
（1）求證：AE=BF．
（2）現(xiàn)給出以下兩個(gè)結(jié)論：①△AEF的面積不變；②的值不變．其中只有一個(gè)結(jié)論是正確的，請(qǐng)選擇正確的結(jié)論并求其值．

Answer 1

（1）證明：連接OE、OF，
由圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)可知∠EAF+∠EOF=180°，且∠EAF=90°，
∴∠EOF=90°，
由正方形的性質(zhì)可知，∠AOB=90°，∠OAE=∠OBF=45°，OA=OB，
∴∠AOE=∠BOF，
∴△AOE≌△BOF，
∴AE=BF；

（2）解：△AEF的面積不變，正確．
理由：連接EF，
∵∠EAF=90°，∴直徑EF=，
由勾股定理，得AE²+AF²=3，
又AE+AF=AB=+1，
解得AE•AF=，
∴S_△AEF=AE•AF=．
分析：（1）連接OE、OF，利用旋轉(zhuǎn)及正方形的性質(zhì)可證△AOE≌△BOF，可得AE=BF；
（2）連接EF，由∠EAF=90°，可判斷EF為直徑，由勾股定理得AE²+AF²=3，由（1）的結(jié)論可知AE+AF=AB=+1，將AE+AF=+1兩邊平方，可得AE•AF=2，從而計(jì)算△AEF的面積．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明全等三角形的方法，正方形、圓的有關(guān)性質(zhì)及勾股定理的運(yùn)用．關(guān)鍵是利用旋轉(zhuǎn)的知識(shí)尋找三角形全等的條件．