Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O是原點(diǎn)，矩形OABC的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上，頂點(diǎn)C在y的正半軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（5，3），拋物線經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，與x軸的另一個交點(diǎn)是點(diǎn)D，連接BD．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)M是拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，以M、B、D為頂點(diǎn)的三角形的面積是6，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿D→B勻速運(yùn)動，同時點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿B→A→D勻速運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時，P、Q同時停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動的時間為t秒，當(dāng)t為何值時，以D、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？請直接寫出所有符合條件的值．

Answer 1

【答案】（1）

（2） M （3，）或（3，）

（3）當(dāng)t=或t=或t=時，以D、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．

【解析】

（1）求出點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．

（2）如答圖1所示，關(guān)鍵是求出MG的長度，利用面積公式解決；注意，符合條件的點(diǎn)M有2個，不要漏解．

（3）△DPQ為等腰三角形，可能有三種情形，需要分類討論：

①若PD=PQ，如答圖2所示；②若PD=DQ，如答圖3所示；③若PQ=DQ，如答圖4所示．

解：（1）∵矩形ABCD，B（5，3），∴A（5，0），C（0，3）．

∵點(diǎn)A（5，0），C（0，3）在拋物線上，

∴，

解得：．

∴拋物線的解析式為：．

（2）∵，

∴拋物線的對稱軸為直線x=3．

如答圖1所示，設(shè)對稱軸與BD交于點(diǎn)G，與x軸交于點(diǎn)H，則H（3，0）．

令y=0，即，

解得x=1或x=5．

∴D（1，0）．

∴DH=2，AH=2，AD=4．

∵，

∴GH=DHtan∠ADB=2×=．

∴G（3，）．

∵S△MBD=6，即S△MDG+S△MBG=6，

∴MGDH+MGAH=6，

即：MG×2+MG×2=6．

解得：MG=3．

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，）或（3，）．

（3）在Rt△ABD中，AB=3，AD=4，則BD=5，

∴sinB=，cosB=．

以D、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則：

①若PD=PQ，如答圖2所示，

此時有PD=PQ=BQ=t，過點(diǎn)Q作QE⊥BD于點(diǎn)E，

則BE=PE，BE=BQcosB=t，QE=BQsinB=t，

∴DE=t+t=t．

由勾股定理得：DQ2=DE2+QE2=AD2+AQ2，

即（t）2+（t）2=42+（3﹣t）2，整理得：11t2+6t﹣25=0，

解得：t=或t=﹣5（舍去）．

∴t=．

②若PD=DQ，如答圖3所示，

此時PD=t，DQ=AB+AD﹣t=7﹣t，

∴t=7﹣t．

∴t=．

③若PQ=DQ，如答圖4所示，

∵PD=t，

∴BP=5﹣t．

∵DQ=7﹣t，

∴PQ=7﹣t，AQ=4﹣（7﹣t）=t﹣3．

過點(diǎn)P作PF⊥AB于點(diǎn)F，

則PF=PBsinB=（5﹣t）×=4﹣t，BF=PBcosB=（5﹣t）×=3﹣t．

∴AF=AB﹣BF=3﹣（3﹣t）=t．

過點(diǎn)P作PE⊥AD于點(diǎn)E，則PEAF為矩形，

∴PE=AF=t，AE=PF=4﹣t．

∴EQ=AQ﹣AE=（t﹣3）﹣（4﹣t）=t﹣7．

在Rt△PQE中，由勾股定理得：EQ2+PE2=PQ2，即：（t﹣7）2+（t）2=（7﹣t）2，

整理得：13t2﹣56t=0，解得：t=0（舍去）或t=．

∴t=．

綜上所述，當(dāng)t=或t=或t=時，以D、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．