Question

4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-x+4與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，拋物線y=-$\frac{1}{3}$（x-m）²+n的頂點(diǎn)P在直線y=-x+4上，與y軸交于點(diǎn)C（點(diǎn)P、C不與點(diǎn)B重合），以BC為邊作矩形BCDE，且CD=2，點(diǎn)P、D在y軸的同側(cè)．
（1）n=-m+4（用含m的代數(shù)式表示），點(diǎn)C的縱坐標(biāo)是-$\frac{1}{3}$m²-m+4（用含m的代數(shù)式表示）；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在矩形BCDE的邊DE上，且在第一象限時，求拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式；
（3）直接寫出矩形BCDE有兩個頂點(diǎn)落在拋物線上時m的值．

Answer 1

分析 （1）由頂點(diǎn)P（m，n）在y=-x+4上得n=-m+4，求得當(dāng)x=0時y=-$\frac{1}{3}$m²+n即可知點(diǎn)C縱坐標(biāo)；
（2）由矩形的性質(zhì)結(jié)合CD=2知即DE與AB的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2），即可得答案；
（3）①點(diǎn)C、D在拋物線上時，由CD=2可知對稱軸為x=±1，即m=±1；②點(diǎn)C、E在拋物線上時，由B（0，4）和CD=2得E（-2，4），則4=-$\frac{1}{3}$（-2-m）²+（-m+4），解之可得答案．

解答 解：（1）∵y=-$\frac{1}{3}$（x-m）²+n=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{2}{3}$mx-$\frac{1}{3}$m²+n，
∴頂點(diǎn)P（m，n），
∵P在直線y=-x+4上，
∴n=-m+4，
當(dāng)x=0時，y=-$\frac{1}{3}$m²+n=-$\frac{1}{3}$m²-m+4，即點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為-$\frac{1}{3}$m²-m+4，
故答案為：-m+4，-$\frac{1}{3}$m²-m+4；

（2）∵四邊形ABCD是矩形，
∴DE∥y軸，
∵CD=2，
∴當(dāng)x=2時，y=2，即DE與AB的交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2），
∴當(dāng)點(diǎn)P在矩形BCDE的邊DE上時，拋物線的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2），
∴拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=-$\frac{1}{3}$（x-2）²+2；

（3）如圖①②，點(diǎn)C、D在拋物線上時，由CD=2可知對稱軸為x=±1，即m=±1；

如圖③④，點(diǎn)C、E在拋物線上時，

由B（0，4）和CD=2得E（-2，4），
則4=-$\frac{1}{3}$（-2-m）²+（-m+4），
解得：m₁=$\frac{-7+\sqrt{33}}{2}$，m₂=$\frac{-7-\sqrt{33}}{2}$，
綜上所述，m=1或-1或$\frac{-7+\sqrt{33}}{2}$或$\frac{-7-\sqrt{33}}{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查二次函數(shù)的綜合運(yùn)用能力，熟練掌握拋物線與直線相交的問題及矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．