Question

【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,直線(xiàn)分別交軸、軸于、兩點(diǎn),且,滿(mǎn)足，且，是常數(shù)。直線(xiàn)平分，交軸于點(diǎn)。

(1)若的中點(diǎn)為，連接交于，求證：；

(2)如圖2，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，猜想與間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

(3)如圖3,在軸上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(在點(diǎn)的右側(cè)),連接,并作等腰,其中，連接并延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)時(shí)，的長(zhǎng)是否發(fā)生改變?若改變，請(qǐng)求出它的變化范圍；若不變，求出它的長(zhǎng)度.

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析； (2).證明見(jiàn)解析； (3)的長(zhǎng)不變，且.

【解析】

（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，然后得出△AOB是等腰直角三角形，根據(jù)等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)OM⊥AB，再根據(jù)角平分線(xiàn)的定義求出∠ABD=22.5°，然后根據(jù)直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)與三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠OND=67.5°，∠ODB=67.5°，利用等角對(duì)等邊得到ON=OD；

（2）延長(zhǎng)AE交BO于C，得△ABE≌△CBE，得到AC=2AE，再證△OAC≌△OBD得到BD=AE，從而得到BD=2AE；

（3）作FH⊥OP，垂足為H，利用角角邊定理可以證明△OBP與△HPF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得FH=OP、PH=OB=4t，再證FH=AH，∠FAH=∠GAO=45°，OG=OA=4t．即可得到結(jié)論．

（1）∵直線(xiàn)分別交軸、軸于、兩點(diǎn)，且，滿(mǎn)足，且，

，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

解得：，

點(diǎn)，的坐標(biāo)是，，

是等腰直角三角形．

∵點(diǎn)是中點(diǎn)，

，

，

∵直線(xiàn)平分，

，

，

，

，

（等角對(duì)等邊）；

（2）答：．

理由如下：延長(zhǎng)交于，

平分，

，

于點(diǎn)，

，

在△ABE和△CBE中，∵∠ABD=∠CBD，BE=BE，∠AEB=∠CEB=90°，

，

，

，

，

，

又∵，（對(duì)頂角相等），

，

在與中，∵，

，

，

；

（3）的長(zhǎng)不變，且．

過(guò)作，垂足為，．

，，．

是等腰直角三角形，．

在與中，∵∠BPO=∠PFH，∠BOP=∠PHF=90°，BP=PF，

，

，，

，，

，

，

，

是等腰直角三角形，

．