Question

已知，如圖所示，拋物線c₁：y=ax²+bx+c的頂點A在x軸的正半軸上，并與y軸交于點B，OA=，AB=，拋物線c₂與拋物線c₁關(guān)于y軸對稱．

（1）求拋物線c₁的函數(shù)解析式，并直接寫出拋物線c₂的函數(shù)解析式；

（2）設(shè)l是拋物線c₂的對稱軸，P是l上的一點，求當△PAB的周長最小時點P的坐標；

（3）在拋物線c₁上是否存在點D，過點D作DC⊥AB于C，使得△DCB與△AOB相似？如果存在，請直接寫出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【考點】二次函數(shù)綜合題．

【專題】綜合題．

【分析】（1）在Rt△OAB中OA=，AB=，求得OB的長，從而根據(jù)OA，OB得到點A，D坐標，點A坐標即為其頂點坐標，從而得到C₁，C₂C₁關(guān)于原點對稱，從而得到C₂的頂點坐標，即其對稱軸，從而得到C₂解析式．

（2）作BB′∥x軸交C₂于點B′則點B′即為點B關(guān)于l的對稱點，連接AB′交l于點P即為所求點．先求得直線AB′，代入對稱軸l的x值，從而進一步求得點P．

（3）設(shè)點設(shè)點D（x，），求得BD，求得直線AB，求得點D到直線AB的距離，若△DCB與△AOB相似，則或，代入求得的等式是否是否符合，符合則點D存在．

【解答】解：（1）∵在Rt△OAB中OA=，AB=，

∴OB=，

∴點A（，0），點B（0，3）．

則由，

解得：a=1，b=，c=3，

∴C₁的解析式為：y=x²﹣2x+3=．

則點A關(guān)于y軸的對稱點為（，0），

相當于C₁向左平移了2個單位，

∴C₂的解析式為：；

 

（2）作BB′∥x軸交C₂于點B′則點B′即為點B關(guān)于l的對稱點，連接AB′交l于點P即為所求點．

此時AB′即為△APB所形成三角形的最小周長．兩點之間線段最短．

∵點A（，0），點B（0，3），

∴E（，0），

∴B′（﹣2，3），

則設(shè)直線AB′為y=kx+b，代入A，B′得：．

解得：k=，b=1，

∴直線AB′解析式為：y=，

代入對稱軸x=﹣，則y=2，

∴點P（）；

 

（3）如圖：存在，

知道點A，B設(shè)直線AB為y=mx+n，

代入解得：y=﹣x+3，即y+，

設(shè)點D（x，），則BD=，

則點D到直線的距離CD．

知道OA=，OB=3，AB=2，

若△DCB與△AOB相似，則或，

代入，

則點D（1，4﹣2），

檢驗點D符合，

代入，

則點D（3，12﹣6），

檢驗符合，

∴點D（1，4﹣2）或（3，12﹣6）．

【點評】本題考查了二次函數(shù)的綜合運用，涉及到知道拋物線上的點求其解析式，求拋物線的對稱軸，以及拋物線的平移．