Question

4．如圖，直角梯形ABCD中，E為AD邊上的中點，過A作AC⊥BE，交CD邊于C，M是AD邊上一點，且有BM=DM+AD，AD=BA．
（1）求證：CD=DE；
（2）求證：∠MBC=∠ABE．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)AC⊥BE，求出∠AEB=∠ACD，推出△BAE≌△ADF，得出DC=AE，進一步得出答案即可；
（2）過點B作DC的垂線，垂足為點H，延長AD和BC交于點G，首先得出四邊形ABHD是正方形，證△CDG≌△HCB和△ABE≌△CBH，結合BM=DM+AD，得出對應的角相等，整理得出結論即可．

解答 （1）證明：如圖，

∵AC⊥BE，
∴∠AOE=90°，
∴∠EAC+∠AEB=90°，∠EAF+∠DCA=90°，
∴∠AEB=∠DCA，
在△BAE和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠D}\\{∠AEB=∠DCA}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△ADC，
∴AE=CD，
∵E為AD邊上的中點，
∴AE=DE，
∴CD=DE；

（2）證明：如圖，

過點B作DC的垂線，垂足為點H，延長AD和BC交于點G，
∵∠ADC=∠DAB=∠H=90°，AD=AB，
∴四邊形ABHD是正方形，
∴AD=DH=BH，
∵E為AD邊上的中點，CD=DE，
∴D為HD邊上的中點，
∴DC=DH，
在△CDG和△BHC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CDG=∠H=90°}\\{DC=CH}\\{∠GCD=∠HCB}\end{array}\right.$，
∴△CDG≌△BHC，
∴GD=DH=AD，∠G=∠HBC，
∴BM=DM+AD=DM+DG=MG，
∴∠G=∠MBC，
∴∠HBC=∠MBC，
在△ABE和△BHC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BH}\\{∠EAB=∠H}\\{AE=CH}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BHC，
∴∠ABE=∠HBC，
∴∠ABE=∠MBC．

點評 本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，正方形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，綜合運用性質(zhì)進行證明是解此題的關鍵，注意輔助線的做法是解決問題的難點．