Question

3．如圖，線段AB長(zhǎng)為6cm，點(diǎn)C是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），分別以AC和BC為斜邊，在AB的同側(cè)作等腰直角三角形△ADC，△CEB，點(diǎn)P是DE的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C從距離A點(diǎn)1cm處沿AB向右運(yùn)動(dòng)至距離B點(diǎn)1cm處時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是2cm．

Answer 1

分析 分別延長(zhǎng)AD、BE交于點(diǎn)F，易證四邊形CDFE為平行四邊形，得出P為CF中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)C從距離A點(diǎn)1cm處G沿AB向右運(yùn)動(dòng)至距離B點(diǎn)1cm處H，則P的運(yùn)行軌跡為△FGH的中位線MN．再求出GH的長(zhǎng)，運(yùn)用中位線的性質(zhì)求出MN的長(zhǎng)度即可．

解答 解：如圖，分別延長(zhǎng)AD、BE交于點(diǎn)F．
∵△ADC和△ECB都是等腰直角三角形，且∠ADC=∠CEB=90°
∵∠A=∠ECB=45°，
∴AF∥CE，
同理，CD∥BF，
∴四邊形CDFE為平行四邊形，
∴CF與DE互相平分．
∵R為DE的中點(diǎn)，
∴R為CF中點(diǎn)，即在P的運(yùn)動(dòng)過程中，R始終為FC的中點(diǎn)，所以R的運(yùn)行軌跡為三角形FGH的中位線MN．
∵GH=AB-AG-BH=6-1-1=4，
∴MN=$\frac{1}{2}$GH=2，即R的移動(dòng)路徑長(zhǎng)為2cm．
故答案為2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)，以及動(dòng)點(diǎn)問題，是中考的熱點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是正確尋找點(diǎn)R的運(yùn)動(dòng)軌跡，屬于中考填空題中的壓軸題．